Onde está Carmen Sandiego?
Esse semestre trouxe para meus alunos de Matemática VII (Ensino Médio Técnico em Química no sétimo semestre) um teste/problema para que resolvessem em duas semanas (individual ou em duplas). No teste mostrava um plano cartesiano e nele 3 pontos não colineares que representavam antenas de celular. Era dito também que detectaram Carmen Sandiego a uma distância em km de cada uma das 3 antenas e pedia que determinassem sua posição no plano. Depois que explicassem porque seria preciso uma quarta antena para termos sua posição exata.
…
Então, estou fazendo esses testes para serem difíceis e trabalhosos, e exigirem uma etapa de interpretação e tratamento do enunciado. Mas por descuido (e também pra deixar mais divertido) eu não estou resolvendo-os antes de passar para minhas turmas. Tipo, eu sei que há solução, pela forma como fiz deve haver (ou deveria).
Esse em particular é um caso em que me equivoquei, mas de um jeito que vale a pena discutir a razão desse suposto erro.
Quando criei o teste pensei no problema de triangulação (um clássico), onde você tem 3 distâncias de pontos de referência, e determina este ponto. O problema do problema é que essas distâncias não podem ser arbitrárias!
Pensemos assim (está errado, mas tente achar o erro), com uma distância X conhecida de um ponto de referência A temos uma circunferência de raio X.
Com mais uma distância Y conhecida de um ponto de referência B, se a distância entre A e B for menor ou igual que X+Y então temos até dois pontos em que as circunferências se intersectam.
Para eliminar a incerteza sobre qual desses dois pontos estamos falando, bastaria uma terceira distância Z com um ponto de referência C, não colinear com A e B, e de modo que Z seja suficientemente grande para interceptar as circunferências com centro em A e B. Assim, sei exatamente qual ponto considerar? Afinal, se eu pudesse estar em dúvida entre dois pontos, com isso tenho a certeza de qual ponto estou falando, já que C não é colinear, não corre o risco da sua circunferência cruzar exatamente com esses dois, certo?
Errado!!!!
Como percebi tardiamente, na parte final desse problema, não basta uma circunferência qualquer que cruze as outras duas, e sim, uma circunferência que cruze um dos dois pontos de intersecção entre as duas já existentes. Senão corremos o risco de que a circunferência com centro C cruze a circunferência com centro A em dois novos pontos, e cruze a circunferência com centro B em dois novos pontos. Terminando o problema com 6 soluções possíveis (o que era pra resolver, gerou maior confusão…).
Acrescentar uma quarta circunferência arbitrária que cruze as outras três a esse problema em nada ajudaria a delimitar a posição de Carmen Sandiego.
Porém há algo curioso nesse suposto erro com 3 circunferências. Ele não é um erro em si, e sim uma limitação dimensional do problema. Quando falamos em distância de um ponto de referência, não temos uma circunferência, e sim uma esfera.
Quando duas esferas se cruzam, elas não foram dois pontos, e sim uma circunferência.
Quando três esferas se cruzam elas formam dois pontos.
Porém ainda assim, acrescentar uma quarta esfera arbitrária ao problema, com o pretexto de que ela cruze as outras 3, traz um erro de combinatória, pois teríamos então as combinações dessas interseções triplas ocorrendo com essa quarta esfera. Ou seja, uma quarta esfera de fato permite determinar qual desses dois pontos é o verdadeiro, porém não uma esfera qualquer, e sim, uma esfera que cruze um dos dois (e não ambos).
Assim, de volta ao problema original, o que eu tinha pensado? Porque pedi uma quarta antena? Pois no enunciado eu digo “em que posição do plano ela está?” De fato, com 3 antenas e distâncias apresentadas, isto gera 6 posições possíveis. Porém estamos falando de Carmen Sandiego… precisamos considerar que ela não se limita ao plano, podendo estar bem acima (ou bem abaixo) da superfície da Terra. Por isso a pergunta seguinte era, “porque uma quarta antena seria necessária para determinar sua posição exata?”.
Ou seja, se Carmen Sandiego estivesse no subterrâneo ou no céu, as 3 antenas escolhidas apresentariam um erro como esse, de mostrar 6 posições possíveis. Mas quando consideramos a interseção de esferas, temos somente dois resultados possíveis! E com a ajuda de mais uma antena escolhida de modo que a sua esfera de alcance intersecta somente um desses dois pontos, teremos a posição exata de Carmen Sandiego!
Ou será que Carmen Sandiego tem mais um truque na manga?
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias. Onde está Carmen Sandiego?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 14. Ed. 1. 2º semestre de 2025. Campinas, 3 de dezembro de 2025. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6130/. Acesso em: <data-de-hoje>.