Séries retráteis

Em matemática, entendemos uma série como a soma (que as vezes pode ser infinita) de termos de uma sequência. Podemos dizer que uma série é um conjunto ordenado de elementos desta sequência combinados pelo operador de adição. O termo “série infinita” é usado para enfatizar o fato de que a série contêm um número infinito de termos.

O símbolo Σ (somatório) é usado para designar uma soma de N termos de uma sequência. Após o símbolo Σ aparece o índice inferior do primeiro termo a ser somado e em seguida, o índice superior do último termo a ser somado.

Por exemplo, seja a sequência chamada ALFACE com os elementos 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24… O primeiro termo desta sequência é 2, o segundo termo é 4, o décimo termo é 20. Então ao escrevermos Σ_i=2ⁱ⁼¹⁰ ALFACE, significa, somar do segundo termo da sequência até o décimo termo desta sequência:

4+ 6+10+12+14+16+18+20

E ai vem uma piada de matemáticos… Uma vez um matemático foi na fábrica televisões e ficou somando os números de registro para cada aparelho que passava pela sua frente. Depois de uma hora disse que estava pronto e que já podia vender sua criação. Perguntaram o que ele criou? E ele respondeu, que havia acabado de produzir sua “série de TV”.

Mas série é uma das coisas legais e divertidas na Matemática (diferente de minhas piadas). A série suporta muitas ferramentas para trabalharmos com elas. Uma delas é o super poder de “telescopar” séries!

Suponha que eu tenha uma série Σ_i=1 BETERRABA, (quando não definimos um valor máximo na série, isto significa que consideramos qualquer número seu máximo). Pra lembrar, uma série escrita com esta regra, deve ser assim:

b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b_N, onde N é qualquer número.

Para mostrar como funciona “telescopar uma série”, vamos dizer que b_i é a_i+1 – a_i (lembrando que a sequência ALFACE são os números pares crescentes começando de 2). Assim, podemos reescrever a série Σ_i=1 BETERRABA como:

(a₂ – a₁)+(a₃ – a₂)+(a₄ – a₃)+(a₅ – a₄)+(a₆ – a₅)+…+(a_N – a_N-1)+(a_N+1 – a_N).

Mas essa soma, pela propriedade comutativa da adição, pode ser reescrita da seguinte maneira:

-a₁+a₂ – a₂+a₃ – a₃+a₄ – a₄+a₅ – a₅+a₆ – … – a_N-2+a_N-1 – a_N-1+a_N – a_N+a_N+1.

Para facilitar a visualização, colocarei os grupinhos que se cancelarão em parênteses.

-a₁+(a₂ – a₂)+(a₃ – a₃)+…(a_N-2 – a_N-2) +(a_N-1 – a_N-1) +(a_N – a_N) + a_N+1.

Como podemos ver, todos os termos, exceto o primeiro e o último, serão cancelados. Ou seja, quando telescopamos a série Σ_i=1 BETERRABA que definimos, temos:

-a₁ + a_N+1.

Por exemplo, se o nosso N final for 100, temos que a soma destas diferenças é:

-a₁ + a₁₀₁ = -2 + 202 = 200.

Mas você pode estar desconfiando desse super poder de “telescopar” séries, afinal neste exemplo, todos os b_i (para i um número qualquer) será igual a 2 (pois é a diferença entre dois termos da sequência dos pares).

Vamos pegar uma sequência mais “caótica”, que tal os números primos (ou seja, os números Naturais maiores do que 1 que são divisíveis apenas por ele mesmo e por 1)? Chamaremos esta sequência de P com os elementos p₁=2; p₂=3; p₃=5; p₄=7; p₅=11; p₆=13; p₇=17; p₈=19; p₉=23; p₁₀=29; … Dessa forma:

b_N = p_N+1 – p_N.

Então, ao tomarmos a série Σ_i=1ⁱ⁼⁹ BETERRABA, por exemplo, temos:

p₂ – p₁+p₃ – p₂+p₄ – p₃+p₅ – p₄+p₆ – p₅+p₇ – p₆+p₈ – p₇+p₉ – p₈+p₁₀ – p₉.

Utilizando a propriedade comutativa da adição, rearranjamos nossa série da seguinte maneira:

-p₁+(p₂ – p₂)+(p₃ – p₃)+(p₄ – p₄)+…+(p₇ – p₇)+(p₈ – p₈)+(p₉ –p₉)+p₁₀

Assim, dessa série com valores de b_i menos comportados, temos o seguinte resultado:

-p₁ + p₁₀ = -2 + 29 = 27

De forma análoga, se nossa série fosse Σ_i=2ⁱ⁼⁸ BETERRABA, teríamos por “telescopia”, a solução:

-p₂ + p₉ = -3 + 27 = 24

A ideia aqui é que existem séries que se assemelham a um telescópio retrátil, que após fecharmos o instrumento, temos apenas a parte inicial e a final. Similar a guardar um telescópio retrátil, as demais partes se retraem para seu interior.

Ok… isto é legal, mas para que serve?

Quando a série é finita, isto pode ser substituído pela soma exaustiva de todos os seus termos… chato, mas funciona. Mas quando a série é infinita precisamos desta técnica para resolver de modo analítico (não podemos simplesmente somar infinitamente). Um exemplo bonitinho de série infinita é.

Σ_i=1^i=∞ COUVE, com seus elementos expressos por:

C_n = 1/n(n+1).

Os primeiros termos desta sequência são:

1/2; 1/6; 1/12; 1/20; 1/30…

A soma destes 5 termos acima é 0,83…

A soma dos 10 primeiros de C_i é 0,9090…

A soma dos 100 primeiros C_i é 0,99009900…

Será que ela chegará no 1? Um bom palpite diria que sim, mas uma “telescopada” nesta série PROVA que SIM. A ideia para telescopar uma série enxergá-la como uma subtração dentre os próprios termos de uma sequência. Por exemplo:

C_n = 1/n(n+1) = (1/n) – (1/(n+1)).

Então, a série Σ_i=1^i=∞ COUVE, fica da seguinte forma:

1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 +1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + … – 1/N + 1/N – 1/(N+1).

Pela “telescopia” desta série, ela se reduz a:

1/1 – 1/(N+1).

E quando N for ∞, 1/(∞+1) será muito próximo de 0. Então esta série quando N vai ao infinito, tem como resultado:

1/1 – 0 = 1.

Fica como reflexão para o fim deste texto a próxima figura, com referência ao artista René Magritte que em 1929 fez uma obra sobre a dualidade objeto e representação. Ilustrando um cachimbo e escrevendo próximo a imagem “Ceci n’est pas une pipe”, que pode ser traduzida como “Isto não é um cachimbo”.

Isto gerou bastante repercussão na época, pois no quadro se via nítido e claro um cachimbo, então como aquilo poderia não ser um cachimbo? A resposta do autor foi simples e suficiente para justificar sua afirmação a todo seu público. Se isto é um cachimbo, então que alguém tente fumá-lo. A retórica de que o quadro é em si uma representação de um cachimbo foi a mensagem desejada pela obra. Outros trabalhos e referências a esta obra aparecem em várias áreas, entre elas a deste mesmo trabalho no qual apresento uma representação de um telescópio como a série telescópica. Que apesar dela “aparentemente” retrair-se, isto é apenas uma representação que se associa a forma de retração. De fato, a série não se retrai fisicamente como um telescópio ou outro objeto, ela é em si um objeto abstrato e sua retração também se faz da mesma maneira, ultrapassando qualquer analogia ao universo concreto.