Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 4
Você sabe o que são números algébricos?
Um número é chamado de algébrico se for raiz de algum polinômio com coeficientes inteiros.
Por exemplo, √2 é algébrico porque satisfaz a equação x² − 2 = 0.
Em contraste com os números algébricos, um número é chamado de transcendental, quando não é solução de nenhum polinômio desse tipo — ele “transcende” equações algébricas. Exemplos famosos incluem “π” e “e”.
Mas o que isso tem a ver com o tema dessa série sobre lógica para evitar cálculos?
Nossa exploração de expressões como i^i nos leva naturalmente a uma das histórias mais fascinantes da matemática do século XX: o sétimo problema de Hilbert, e o Teorema de Gelfond-Schneider.
Na virada do século, David Hilbert apresentou sua famosa lista de vinte e três problemas não resolvidos para orientar a pesquisa matemática no novo século. O sétimo problema questionava se: um número da forma a^b deveria sempre ser transcendental quando a é algébrico (mas não 0 ou 1) e b é um número algébrico irracional.
Hilbert questionou exemplos específicos que intrigaram os matemáticos por décadas: 2^(√2) é transcendental? e^(π) é transcendental?
Essas questões representaram um grande desafio até 1934, quando Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider, trabalhando independentemente, finalmente resolveram o problema, resultando no Teorema de Gelfond-Schneider:
Se α e β são números algébricos com α ≠ 0, α ≠ 1 e β irracional, então α^β é transcendental.
Agora, vamos aplicar isso ao nosso exemplo α = √2 e β = √2. Ambos são algébricos e β = √2 é irracional. Pelo teorema de Gelfond-Schneider, α^β = (√2)^√2 deve então ser transcendental — o que significa que não pode ser expresso como raiz de nenhuma equação algébrica. E como todo número transcendental também é irracional, (√2)^√2 também é automaticamente irracional. Esse número em particular é chamado de constante de Gelfond-Schneider e é um exemplo fundamental que demonstra como a exponenciação pode gerar tipos de números inteiramente novos, muito além do mundo algébrico.
Esse mesmo teorema também nos diz que e^{π} é transcendental, já que e^{π} = i^(−2i), conectando novamente a lógica dos expoentes imaginários com uma das descobertas mais profundas da teoria dos números.
Imagem de capa adaptada da animação Alice no País das Maravilhas (1951)
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
CARNIELLI, Walter. Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 4. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 15. Ed. 1. 1º semestre de 2026. Campinas, 16 de Janeiro de 2026. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6211/. Acesso em: <data-de-hoje>.