Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 5
Começamos esta série falando de (√2)^√2, e chegamos que o Teorema de Gelfond-Schneider nos permite afirmar este é um número Irracional, porém nem tudo são flores no mundo da lógica.
Este Teorema em si usa prova por contradição — uma ferramenta não construtiva.
Portanto, é discutível se todo raciocínio matemático pode ser tratado construtivamente — uma questão para os fundamentos da matemática.
Assim, o Teorema de Gelfond-Schneider não é considerado construtivo porque não fornece uma evidência explícita de transcendência e porque se baseia no raciocínio clássico, em particular no princípio da eliminação da dupla negação (de ¬¬A infere-se A).
Na demonstração do Teorema de Gelfond-Schneider, um passo desse tipo clássico ocorre em um ponto essencial, razão pela qual o argumento geral não é construtivo.
Filosoficamente, o resultado oferece muito do ponto de vista clássico, pois estabelece fatos importantes de transcendência com amplas consequências na teoria dos números.
Do ponto de vista construtivo, no entanto, ele contribui muito pouco, pois não oferece um método explícito ou evidência para a transcendência.
O delicado equilíbrio que explica por que a matemática e a lógica precisam da filosofia.
A lógica não apenas guia nosso raciocínio — muitas vezes, ela nos poupa de trabalho desnecessário.
A Lei do Terceiro Excluído mostra como uma manobra puramente lógica pode substituir páginas de cálculos.
No entanto, o debate contínuo entre a matemática clássica e a construtiva nos lembra:
Às vezes, saber que algo existe não é o mesmo que saber o que é.
No fim, ambas as correntes — a logicista e a construtivista — nos ajudam a apreciar o delicado equilíbrio que explica por que a matemática e a lógica precisam da filosofia.
Afinal, a lógica é a arte de pensar da maneira mais humana possível — se possível, eficiente.
Referências:
Gelfond, A. O. (1934). Transcendental and Algebraic Numbers.
Schneider, T. (1935). Transzendente Zahlen.
Churchill, R. V. & Brown, J. W. (1984). Complex Variables and Applications.
Needham, T. (1997). Visual Complex Analysis.
Bishop, E. (1967). Foundations of Constructive Analysis.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
CARNIELLI, Walter. Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 5. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 15. Ed. 1. 1º semestre de 2026. Campinas, 16 de Janeiro de 2026. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6214/. Acesso em: <data-de-hoje>.