A incrível equação Biquadrada

No filme Os Incríveis (2004), o Sr. Incrível enfrenta o Omnidroid, um robô criado para eliminar super-heróis. Logo no início do combate, o Sr. Incrível faz um salto por cima do robô, que rapidamente calcula sua trajetória com base sua posição, na posição do Sr. Incrível e outros fatores que aparecem na tela como sendo a visão da máquina diante aquele momento.

Então, antes que o salto terminasse, o robô determina quando ele estará no alcance de seus braços mecânicos, para atingí-lo em pleno ar.

Vamos assumir por conveniência (e também com base na cena extraída da animação) que a trajetória do salto do Sr. Incrível seja uma parábola e o alcance do robô seja uma circunferência cujo centro está no mesmo eixo de simetria da parábola, para x e y os eixos horizontal e vertical do plano cartesiano.

Salto do Sr. Incrível: y = a.x² + b.x + c, onde a, b e c são números Reais, e a diferente de 0.
Alcance do robô: x² + y² = r², onde r é o raio da circunferência.

No Alcance do robô, podemos ignorar a semi-circunferência inferior, uma vez que o salto se dá por cima dele, então, se isolarmos o y, teremos:

Salto do Sr. Incrível: y = a.x² + b.x + c
Alcance do robô: y = √(r² – x²)

Igualando as duas expressões em função de y, ficamos com:

a.x² + b.x + c = √(r² – x²)

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminarmos esta raíz quadrada, temos:

(a.x² + b.x + c)² = r² – x²

a².x⁴ + 2.a.b.x³ + (b² + 2.a.c + 1).x² + 2.b.c.x + (c² – r²) = 0

Como escolhemos o centro do plano cartesiano na posição do robô, e temos por definição que o eixo de simetria da parábola passa pelo centro da circunferência, então, b tem que ser igual a 0, logo:

a².x⁴ + (2.a.c + 1).x² + (c² – r²) = 0

Veja que legal, encontramos uma situação real em que chegamos numa equação polinomial de grau 4 (se eu ganhasse uma moeda cada vez que algo assim acontece, hoje eu teria duas moedas, eu sei que não é muito, mas é estranho que algo assim tenha acontecido uma outra vez).

Mas e ai? O que fazer? Se no Ensino Médio já sofremos para resolver equações de 2o grau, e só vemos que existem equações de 3o grau, mas nunca nem chegamos perto de resolvê-las (não é nada saudável tentar isso…), o que dizer de uma equação de 4o grau?

De forma geral, eu recomendo distância… porém, há uma exceção para esse gênero de equações, que realmente vale a pena conversarmos aqui… as equações biquadradas.

Observe novamente a equação que encontramos:

a².x⁴ + (2.a.c + 1).x² + (c² – r²) = 0

Ela não parece tão feinha não… talvez se eu der um nome para x² ela fique um pouco mais agradável… digamos então que k = x².

a².k² + (2.a.c + 1).k + (c² – r²) = 0

Uia… isso agora tem a aparência de uma equação de 2o grau. Basta tomarmos os coeficientes que acompanham a incógnita e montarmos nossa fórmula de resolver esse tipo de equação. Isso deve gerar até duas soluções, k1 e k2.

Mas há um detalhe, nem k1 e nem k2, são realmente soluções do nosso problema. Pois na verdade, chamamos x² de k, logo, de k1 encontramos duas soluções para x, como √k1 e -√k1. Por outro lado, de k2 também encontramos duas soluções para x, como √k2 e -√k2.

Essas são as possíveis 4 situações em que a parábola, cruza a circunferência.

Mas por que isso funciona?

No caso, resolver equações de 4o grau não são tão simples, a situação das biquadradas saem dessa forma “tão fácil”, pois estamos considerando que o eixo de simetria da parábola está alinhado ao centro da circunferência. Assim, em vez de considerarmos a parábola inteira, podemos considerar somente uma das suas metades, que a solução completa se dará por simetria.

Assim, temos 1/4 da circunferência cruzando metade da parábola. Isso é um problema com até duas soluções, e por isso conseguimos modelar como uma equação de 2o grau :3