Jenga de Riemann?

Essa semana eu estava pensando em como trabalharei Somas de Riemann com meus alunos de Cálculo II. Semestre passado eu usei a ideia de calcular o volume de uma folha fina de papel, um objeto que individualmente tem volume irrisório, pois uma das suas 3 dimensões é tão pequena que fica difícil até de medir com instrumentos convencionais. Porém no momento que empilhamos uma quantidade suficiente dessas folhas (e assumimos que não há deformação devido a compactação das folhas), podemos mensurar a altura da pilha, e dividir pela quantidade de folhas que a compõe (tenho inclusive um texto que fala exatamente sobre isso, Calculando o volume deste paralelepípedo). Porém senti que essa proposta ficou meio méh… os alunos não falaram nada, talvez devido a uma concepção antiga de obediência e aceitação por receio de criar uma situação de inimizade (principalmente no Ensino Superior onde não há muitos mecanismos de controle e moderação para as ações dos docentes), porém eu senti que não ficou divertida o suficiente. Daí estava pensando no que fazer, e seria legal talvez montar algumas superfícies, o problema é a necessidade de pecinhas similares, na forma de paralelepípedos que possam ser empilhadas… Dai lembrei do Jenga que comprei pra minha filha (ela ainda não sabe jogar, só gosta de empilhar e derrubar as peças).

A Soma de Riemann costuma ser a primeira forma de integração que nos é apresentada, ela é bastante fraca, porque requer muitas condições para seu uso (tenho inclusive um texto onde há um meme zoando essa forma de integração, Divulgação Científica de Teoria da Medida). Mas a Soma de Riemann é bonitinha, e fácil de entender. Para uma variável, sua ideia é que se temos uma curva contínua, por exemplo uma parábola.

Podemos dividir seu domínio em intervalos de mesmos tamanhos.

Então, medindo a altura da curva em uma posição específica de cada intervalo, por exemplo, na posição mais à esquerda do intervalo, seremos capazes de calcular a área de um conjunto de retângulos que aproximam a área da nossa curva.

Embora essa seja uma aproximação ruinzinha, dá para entender que se aumentarmos a quantidade de intervalos, estaremos mais próximos da área exata abaixo da curva.

Mas o que muda em Cálculo II? Em vez de responder, vou mostrar uma fotim que tirei hoje (gosto de falar fotim em vez de fotinho, acho mais fofo, assm, como cafezim em vez de cafezinho…).

Embora possa se parecer com uma curva, nossa experiência enxergando em perspectiva nos diz algo diferente. Há uma profundidade nessa imagem. Ou seja, o ideal não seria que ela representasse a área abaixo de uma curva, e sim o volume abaixo de uma superfície.

Ou seja, não temos mais uma reta como Domínio, e sim o plano cartesiano, assim em vez de intervalos Reais, teremos intervalos de área (a base de cada pecinha de jenga). Contudo, continuaremos tendo a altura de cada Área, e isso resulta na medida de seu volume. Logo, a soma de todos os volumes resulta na aproximação para o volume abaixo da superfície.

No exemplo acima, a área de cada região do domínio é dada por (x2 – x1)*(y2 – y1)*f(x1, y1), onde f(x, y) seria a função que representa esta superfície.

Naturalmente, quando aumentarmos a quantidade de regiões de Áreas do Domínio, aproximaremos com mais precisão o volume real abaixo da superfície, daquele formado por paralelepípedos (precisei escrever essa palavra pausadamente…). O mais legal disso tudo, é que o conceito segue exatamente o mesmo, isto é, se você entendeu bem o que era Soma de Riemann para 1 variável, agora basta dar uma inchadinha nos seus intervalos, transformando-os de segmentos de reta, para retângulos. Se te faltar um pouco de sanidade, você pode por exemplo, querer calcular o volume de um pedaço de bolo, colando-o sob uma malha quadriculada e cortando-o em alturas definidas para cada regiãozinha dessa malha. Teremos vários blocos de bolo, cada um cujo volume é dado por área da base vezes altura, e somados teremos uma aproximação razoável pro seu volume total… depois você tenta explicar pras pessoas porque fez uma atrocidade dessa com o pobre bolinho…