Quantos graus tem o ângulo interno de um polígono regular de infinitos lados?
Quem nunca se viu questionando quantos graus deveria ter cada ângulo interno de um polígono regular de infinitos lados? Mais popularmente chamado de infinitógono regular. Essa deve ser uma pergunta recorrente na maioria das pessoas (pelo menos naquelas com tempo e paciência suficientes para ler este blog).
Para analisar este problema, partiremos do fato que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Uma matemática bastante simples, mas que mostraremos ser suficiente para este cálculo com um infinitógono regular.
No caso, se o triângulo regular tem todos os ângulos iguais (por definição de ser um polígono regular), então cada ângulo interno dele deve ter 180/3 graus. Ou seja, 60 graus.
No caso de um quadrado (um polígono regular de 4 lados). Podemos dividir um quadrado a partir de seu centro e criar assim 4 triângulos. A soma dos ângulos do seu centro devem dar ao todo 360 graus, pois se completam. Dividindo 360 graus pelo número de lados, no caso 4, chegamos que a soma dos outros dois ângulos deve ser igual ao ângulo interno do polígono, no caso, 45+45 graus, ou seja, 90 graus.
No caso de um pentágono regular (um polígono regular de 5 lados). Podemos dividi-lo a partir de seu centro e criar assim 5 triângulos. A soma dos ângulos do seu centro devem dar ao todo 360 graus, pois se completam. Dividindo 360 graus pelo número de lados, no caso 5, chegamos que a soma dos outros dois ângulos deve ser igual ao ângulo interno do polígono, no caso, 54+54 graus, ou seja, 108 graus.
Para o quadrado a resposta poderia ser intuitiva, mas o raciocínio serve tanto para o pentágono (como mostramos acima) como para figuras de mais lados.
6 lados: [180 – (360/6)] = 120 graus
7 lados: [180 – (360/7)] = 128,5 graus
8 lados: [180 – (360/8)] = 135 graus
9 lados: [180 – (360/9)] = 140 graus
10 lados: [180 – (360/10)] = 144 graus
…
100 lados: [180 – (360/100)] = 176,4 graus
…
1.000 lados: [180 – (360/1.000)] = 179,6 graus
…
1.000.000 lados: [180 – (360/1.000.000)] = 179,9996 graus
…
1.000.000.000 lados: [180 – (360/1.000.000.000)] = 179,9999996 graus
Aplicando um limite simples à função graus desse polígono regular, podemos chegar na seguinte expressão:
180 – lim (360/x) = 180 – 0 = 180.
x→∞
Ou seja, quando o número de lados tender ao infinito, a medida de cada ângulo interno do polígono é 180 graus. Incrível pensar como ele se fecha apenas com ângulos rasos.
Oi eu só queria perguntar o quadrilátero e o retângulo qual é o ângulo deles ?
Boa tarde Bia, o retângulo é um quadrilátero bem específico, no qual seus 4 ângulos são ângulos retos (ou seja, com 90 graus).
Um quadrilátero qualquer é algo bem mais arbitrário, não podemos garantir a medida de nenhum de seus ângulos, só podemos dizer que a soma dos 4 ângulos deve dar 360 graus.
Era isso que você queria saber?
acho que o ideal seria dizer que o angulo interno de um infinitógono é 179,999...; uma dízima periódica que, mesmo sendo menor que 180, ela tem mesmo valor (confuso, mas acho q serviria)
aliás, não seria mais simples chamar o infinitógono de "círculo"??
Oi jjj,
o ponto que você mencionou é bem interessante, a dízima periódica 179,999... não é menor que 180, ela é igual a 180.
Mas sobre chamar o polígono regular de infinitos lados de círculo, traz uma outra questão... se temos enumeráveis ou não-enumeráveis lados neste polígono.
Pois se houvessem enumeráveis lados neste polígono, teríamos "quase" um círculo, dado que, um círculo é suave em todo seu contorno, ou seja, podemos para qualquer ponto dele, encontrar a inclinação da sua curva, mas isso exigiria uma bijeção entre o contorno do círculo e os números Reais, só que os números Reais são não-enumeráveis.
Então, um polígono regular com não-enumeráveis lados, poderia sim ser um círculo, mas não um com enumeráveis lados.
Digo que poderia ser um círculo, pois todo trecho do seu contorno deveria ter não-enumeráveis lados, se ao menos um tivesse enumeráveis lados, já não seria mais um círculo.