Qual a chance de ganhar recursos nesta rodada?

Catan é um jogo de tabuleiro bastante popular, conhecido principalmente pela configuração de seu tabuleiro ser montada a partir de hexágonos e também pela sua dinâmica envolvendo a negociação de recursos entre outros jogadores para construções e desenvolvimentos dentro do jogo. O tabuleiro da versão clássica é formado por 19 hexágonos dispostos como na figura abaixo.

Disposto acima de cada hexágono temos um elemento do seguinte conjunto numérico (sem repetição):

{2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 8; 8; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 12}.

Para entender um pouco a dinâmica do jogo, temos 5 tipos de matérias-primas que são necessárias para realizar as construções e desenvolvimentos. Cada hexágono produz um único tipo de matéria-prima, e todos os jogadores com aldeias ou cidades localizadas em um dos vértices do referente hexágono, receberão um (no caso de ter uma aldeia) ou dois (no caso de ter uma cidade) recursos daquela região, quando a soma dos dois dados de 6 faces convencionais lançados corresponder ao número no centro do hexágono.

Com isto já é possível perceber que uma região ficará sem nenhum número (temos 19 regiões e 18 números). No jogo clássico esta região é representada pelo deserto e ela não gera nenhum recurso.

Analisando as ocorrências de cada par de dados, podemos determinar entre os outros números, quantas vezes eles ocorrem.

1 ocorrência de soma = 2 → {1,1}

2 ocorrências de soma = 3 → {2,1}; {1,2}

3 ocorrências de soma = 4 → {3,1}; {2,2}; {1,3}

4 ocorrências de soma = 5 → {4,1}; {3,2}; {2,3}; {1,4}

5 ocorrências de soma = 6 → {5,1}; {4,2}; {3,3}; {2,4}; {1,5}

5 ocorrências de soma = 8 → {6,2}; {5,3}; {4,4}; {3,5}; {4,6}

4 ocorrências de soma = 9 → {6,3}; {5,4}; {4,5}; {3,6}

3 ocorrências de soma = 10 → {6,4}; {5,5}; {4,6}

2 ocorrências de soma = 11 → {6,5}; {5,6}

1 ocorrência de soma = 12 → {6,6}

Ao todo, temos 30 ocorrências referentes aos números espalhados pelas regiões do mapa, e 6 ocorrências cuja soma daria 7, que apesar de ter um significado no jogo, não virá ao caso para esta discussão. No jogo nenhuma aldeia pode ser construída em um vértice que diste menos que duas arestas de uma outra aldeia. Assim, para cada aldeia construída, bloqueia-se de construir outras aldeias em até 4 vértices (um vértice no qual a própria aldeia foi construída e até outros três vértices conectados a uma aresta daquele vértice).

O jogo começa com o primeiro jogador construindo uma aldeia em qualquer posição do tabuleiro, depois o segundo jogador, assim até o último jogador. Então o último jogador constrói uma nova aldeia, depois o penúltimo jogador constrói uma nova aldeia, assim até o primeiro jogador.

Considerando uma partida com 3 jogadores, teremos:

1o jogador-1a vez: tem exatamente 54 opções;

2o jogador-1a vez: tem no mínimo 50 opções;

3o jogador-1a vez: tem no mínimo 46 opções;

3o jogador-2a vez: tem no mínimo 42 opções;

2o jogador-2a vez: tem no mínimo 38 opções;

1o jogador-2a vez: tem no mínimo 32 opções;

Considerando uma partida com 4 jogadores, teremos:
1o jogador-1a vez: tem exatamente 54 opções;

2o jogador-1a vez: tem no mínimo 50 opções;

3o jogador-1a vez: tem no mínimo 46 opções;

4o jogador-1a vez: tem no mínimo 42 opções;

4o jogador-2a vez: tem no mínimo 38 opções;

3o jogador-2a vez: tem no mínimo 34 opções;

2o jogador-2a vez: tem no mínimo 30 opções;

1o jogador-2a vez: tem no mínimo 26 opções;

Em ambas as situações, temos muitas opções a serem escolhidas, mas alguém que já jogou Catan poderia responder que apesar de muitas opções, a quantidade de opções “interessantes” não é tão grande. Porém ao inserirmos o adjetivo “interessante” a uma opção, estamos atribuindo algumas características que podem ser medidas, para definirmos por um critério qual a opção “mais interessante”.

Numa partida recente, me perguntaram como calcular a probabilidade de numa jogada obtermos recurso em um vértice. A solução é bastante simples, se um vértice tivesse conectado a 11 regiões com números variando de 2 a 12 (incluindo o 7), a toda rodada este vértice receberia recursos. Ou seja, sua probabilidade seria 100%.

Dessa forma, a probabilidade de cada vértice render um recurso naquela rodada é dada pela soma das probabilidades individuais de cada região ao seu redor gerar recursos naquela rodada, menos a repetição das regiões.

No caso, imagine um vértice conectado a uma região com o número 5. Este número ocorre de 4 maneiras diferentes, dentre as 36 possíveis. Desse modo, 4/36 representa a probabilidade de obtermos um 5, algo próximo de 11%.

Se nosso vértice estiver conectado a outro número 5. A probabilidade de obtermos recursos nesta rodada não será a soma das duas regiões gerarem recursos. Pois a nova região não amplia o espaço de ocorrências. Assim, conectados a duas regiões com o número 5, continuamos com 4/36 das ocorrências, o que muda no caso é o peso dos recursos obtidos naquelas ocorrências, que será 2 para uma aldeia e 4 para uma cidade (considerando um recurso qualquer como peso 1).

De forma mais geral, podemos definir a probabilidade máxima de um vértice, estando entre regiões de número 6, 8 e 9 ou 5, 6 e 8. Em ambos os casos obtemos 14/36 dos casos, equivalente a 39%.

A figura da página anterior apresenta as probabilidades de cada vértice para a disposição já apresentada. Ela foi gerada em uma planilha eletrônica comum aplicando o raciocínio discutido neste capítulo (o mais difícil mesmo foi acertar a imagem de fundo com as células da planilha).

Mas a escolha de um vértice é algo mais complexo de entender do que apenas a probabilidade de cada posição render recursos. Este é um problema de natureza muito mais difícil (isto ignorando os recursos e portos), pois como discutimos anteriormente, escolher um vértice implica no bloqueio de até outros três vértices. Desse modo uma escolha pode ser tomada não pelo seu próprio benefício, mas pelo malefício mútuo. Podemos por exemplo optar por uma posição cuja probabilidade de gerar recursos naquela rodada não seja tão grande, mas que bloqueie ao mesmo tempo três outros vértices com grande chance de gerarem recursos. Assim, esta é uma escolha que deve levar vários outros fatores em consideração, o que fugiria a discussão deste humilde texto.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Qual a chance de ganhar recursos nesta rodada?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 3. Ed. 1. 1º semestre de 2020. Campinas, 25 mar. 2020. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/1448/. Acesso em: <data-de-hoje>.

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