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Primo de Sheldon

Este é um post para uma data especial do ano, o 3/7 (dependendo do calendário pode ser 7/3). Dias que remetem as características que fazem o 73 ser considerado pelo personagem Sheldon Cooper, da série The Big Bang Theory, como o melhor dos números.

 – Qual é o melhor número?

– Só para constar, só existe uma resposta correta.
– O melhor número é 73.
– Vocês devem estar se perguntando a razão.
– 73 é o 21º número primo, seu reverso, o 37 é o 12º, cujo reverso, o 21, é o produto da multiplicação de… segurem a respiração, 7 e 3.
– Então? Então? Estou mentindo?

As falas selecionadas referem-se ao personagem Sheldon Cooper no início do episódio 73 (10o episódio da 4a temporada: A Hipótese do Parasita Alienígena).

Vocês podem estar pensando (ou não), se o número 37 também é o melhor número? Mas a resposta é não, observe porque:

Espelho do 37 é o 73, o 37 é o 12º número primo, mas 12 não é produto da multiplicação de 3 e 7 (*nesse momento imagino do leitor uma expressão de surpresa).

Como todos sabem (ou pelo menos eu acho que sabem), Matemáticos adoram problemas, muito mais do que soluções. Soluções não tem graça, soluções resolvem as coisas e acabam com toda a diversão. Mas problemas, problemas são empolgantes, são difíceis e te fazem acordar a noite para rascunhar uma ideia. Assim, a comunidade matemática diante a fala de Sheldon, identificou um divertido (tudo bem, pode não ser divertido para a maioria das pessoas) problema, provar que a conjectura de Sheldon, sobre os números com estas propriedades (que ficaram conhecidos como Primos de Sheldon) é verdadeira. Ou seja, que o conjunto dos Primos de Sheldon, não tem outros elementos além do 73.

Uma demonstração em si não começa do nada, e neste caso não foi diferente. Este trabalho tem suas raízes com os matemáticos Jessie Byrnes, Chris Spicer e Alyssa Turnquist, que em 2015 publicaram o artigo “The Sheldon Conjecture”. Nele os autores definem esta conjectura, e analisam de forma exaustiva, todos os casos menores do que 1010, determinando assim, que dentro deste intervalo, o único Primo de Sheldon é o 73. Este resultado apesar de interessante, ainda é insuficiente para provar a conjectura em si. Dado que existem infinitos números maiores do que 1010, nos quais resta a dúvida, será que para algum deles, a propriedade de ser Primo de Sheldon, é válida?

Em fevereiro de 2019 (9 anos depois do lançamento do respectivo episódio 73 da série), dois matemáticos, Carl Pomerance e Chris Spicer, publicaram uma demonstração impactante (pelo menos para os matemáticos fãs da série), que de fato, 73 é o único Primo de Sheldon! Abaixo coloco um pouco destas duas pessoas notáveis.

Carl Pomerance: professor de Matemática emérito do John G. Kemeny Parents no Dartmouth College e também professor pesquisador emérito da Universidade da Geórgia. Os ex-cargos incluem professor do ensino médio em Revere, MA, e membro da equipe técnica da Bell Labs. Sua pesquisa é principalmente em teoria analítica, combinatória e computacional de números. Ele considera Paul Erdős, que sempre apreciou um problema divertido, sua maior influência.

Chris Spicer: professor associado de Matemática na Morningside College. Ele recebeu seu Ph.D. da Universidade do Estado de Dakota do Norte em 2010. Ele é um ávido observador da The Big Bang Theory e sempre foi fascinado pela Matemática na cultura popular.

A demonstração desta conjectura está disponível na internet a partir do artigo “Proof of the Sheldon Conjecture”, de 2019. Mas acho interessante tratar aqui de alguns pontos desta demonstração (em linhas gerais, pois me desculpem, nem de longe tenho capacidade para demonstrar algo deste nível).

Provar exaustivamente algo para infinitos casos é obviamente impossível, mas mesmo para um conjunto finito de casos, as vezes é absurdamente difícil. Neste trabalho de Carl Pomerance e Chris Spicer, eles começam restringindo os números com possibilidade de serem Primos de Sheldon a algo entre 1010 e 1045. Isto por que eles consideram uma importante propriedade da Matemática demonstrada em 1962, que determina uma densidade nos números primos a medida que avançamos ao infinito. Neste caso, conhecendo a quantidade aproximada de números primos existentes, foi possível determinar que para nenhum número acima de 1045, possa existir um outro primo com as características de um Primo de Sheldon.

Mas ainda assim, provar exaustivamente para todos os 1045 restantes, é demasiadamente impossível com a computação atual. Mas a Matemática aliada a computação não é tão simplória a ponto de apenas tentar exaurir todos os casos um a um. Nesta situação, os autores começaram a determinar casos excludentes dentre os Primos de Sheldon, como por exemplo:

Algum dos termos de um candidato a Primo de Sheldon, ter zero (pois falharia na propriedade de multiplicar seus termos e chegar no valor da sua posição na ordem dos primos);

Todos os pares serão excluídos e também todos os números que começam com um termo par também são excluídos (pois o espelho deste número seria então um número par);

Os números com final 5 (pois seriam múltiplos de 5) ou começo 5 (pois seu espelho seria múltiplo de 5).

Na sequência dos números primos, excluímos todos aqueles que não são formados pelo produto de 2i3j5k7l, pois os termos do número candidato a Primo de Sheldon serão multiplicados para formar o termo da sequência dos números primos, deste modo temos o produto de termos entre 1 e 9, que pode ser decomposto na forma 2i3j5k7l.

Em resumo, com muita Matemática e Computação, foi possível reduzir estes números a um conjunto tratável computacionalmente. Os candidatos a Primo de Sheldon foram então verificados, e para todos os candidatos, o resultado foi negativo. Ou seja, não existem números entre 1010 e 1045 que satisfaçam a propriedade de ser Primo de Sheldon. Somado isto aos resultados de que nenhum Primo de Sheldon poderia ser maior que 1045 e que já se verificou o 73 como único Primo de Sheldon abaixo de 1010, o artigo encerra concluindo que de fato, 73 é o único Primo de Sheldon!

Este resultado reflete um pouco daquilo que é atualmente a pesquisa em Matemática Pura. Pois mesmo um teorema (dado que a conjectura foi provada como verdadeira, agora podemos chamá-la de teorema), que muitos poderiam tentar provar analiticamente (e falhar), pode ser provada com o auxílio computacional (e é claro, matemática de alto nível).