Invasão da Área 51
Estava marcado para dia 20 de setembro de 2019 a Invasão da Área 51 correndo ao estilo Naruto, com mais de 2 milhões de confirmados. Este incidente gerou preocupação das autoridades e expectativa sobre o que poderia ocorrer se as pessoas confirmadas realmente tentassem isto. Neste texto discutiremos sobre como o uso do logaritmo poderia ter viabilizado a Invasão da Área 51.
Para nos situarmos neste texto, precisamos primeiro ter em mente de que:
1) A Área 51 é uma base militar (secreta) dos EUA associada muitas vezes à ocultar da humanidade diversos segredos, como a descoberta de vida extraterrestre inteligente. Sua entrada até a chegada na base de operações distam cerca de 50 km.
2) O estilo de corrida Naruto (um anime com o tema principal ninjas) se baseia na forma que os personagens neste universo correm, mantendo os braços retos e esticados para trás enquanto o corpo fica inclinado à frente.
Assim chamemos de Y a distância máxima que uma das P pessoas do grupo de invasão consegue correr de forma contínua. Chamaremos de X a menor das distâncias máximas que as outras P-1 pessoas (retiramos do conjunto a pessoa que corre Y) conseguem correr carregando outra pessoa nas costas. Desse modo, ignorando a resistência e o atrito com as autoridades militares, seria possível que o grupo de invasão percorra os 50km correndo ao estilo Naruto e concluam assim a Invasão da Área 51?
Caso 1: Y≥50km. Nesse caso, pelo menos uma pessoa do grupo consegue sozinha correr até a base da Área 51.
Caso 2: Y<50km. Nesse caso, ninguém no grupo consegue correr os 50 km sem interrupções. Mas a invasão neste caso ainda é possível, pois podemos reduzir a distância a ser percorrida por Y carregando uns aos outros nas costas.
Duas pessoas percorreriam (X+Y)km. No caso, o sujeito que corre Ykm (à direita) seria carregado pelos primeiros Xkm (à esquerda).
Nessa situação chamamos de P o total de pessoas e cada parcela da corrida de um rush. Para que uma pessoa invada a Área 51, precisaremos de n-1 rushs carregando-a nas costas.
1o rush: P/2 pessoas correm X km carregando outras P/2 pessoas;
2o rush: Quando atingirem os X km, as P/2 pessoas que estavam correndo até agora param de correr, e as P/4 das pessoas carregadas passam a carregar as outras P/4 pessoas que estavam sendo carregadas;
3o rush: Quando atingirem os X km, as P/4 pessoas que estavam correndo até agora param de correr, e as P/8 das pessoas carregadas passam a carregar as outras P/8 pessoas que estavam sendo carregadas;
n-1o rush: Quando atingirem os X km, a pessoa que estava correndo até agora para de correr, e a pessoa que estava sendo carregada passa a correr sem carregar ninguém.
Desse modo, ao todo seriam percorridos [(n-1).X+Y]km. Para sabermos o total de rushs desta corrida, precisamos calcular o logaritmo na base 2 do total de pessoas que participam da corrida. Como temos um rush a mais, referente ao sujeito que corre sem carregar ninguém, a expressão que buscamos será:
n ∈ ℕ, log2(P) < n ≤ 1+log2(P)
Exemplo 1: reuniram-se para a invasão 32 pessoas. Aquele com maior resistência consegue correr 20 km sem interrupções (Y=20), enquanto os outros 31 conseguem correr 6 km carregando outra pessoa nas costas (X=6). Desse modo teremos log2(32) rushs < n ≤ 1+log2(32) rushs = 6 rushs.
Progressão da corrida iniciando com 32 pessoas, X=6 e Y=20.
1o rush: 16 pessoas percorrem de 0 a 6 km carregando 16 pessoas;
2o rush: 8 pessoas percorrem de 6 a 12 km carregando 8 pessoas;
3o rush: 4 pessoas percorrem de 12 a 18 km carregando 4 pessoas;
4o rush: 2 pessoas percorrem de 18 a 24 km carregando 2 pessoas;
5o rush: 1 pessoa percorrem de 24 a 30 km carregando 1 pessoa;
Rush final: 1 pessoa percorre 20 km.
Exemplo 2: reuniram-se para a invasão 1.024 pessoas, (log2(1024) rushs < n ≤ 1+log2(1024) rushs = 11 rushs) apesar de aumentarmos apenas 5 rushs, sua representação em uma folha como no exemplo anterior, se tornaria de difícil visualização:
1o rush: 512 pessoas percorrem de 0 a X km carregando 512 pessoas;
2o rush: 256 pessoas percorrem de X a 2X km carregando 256 pessoas;
3o rush: 128 pessoas percorrem de 2X a 3X km carregando 128 pessoas;
4o rush: 64 pessoas percorrem de 3X a 4X km carregando 64 pessoas;
5o rush: 32 pessoas percorrem de 4X a 5X km carregando 32 pessoas;
6o rush: 16 pessoas percorrem de 5X a 6X km carregando 16 pessoas;
7o rush: 8 pessoas percorrem de 6X a 7X km carregando 8 pessoas;
8o rush: 4 pessoas percorrem de 7X a 8X km carregando 4 pessoas;
9o rush: 2 pessoas percorrem de 8X a 9X km carregando 2 pessoas;
10o rush: 1 pessoa percorre de 9X a 10X km carregando 1 pessoa;
Rush final: 1 pessoa percorre 50 km – 10X km.
Então, se 50 – N.X – Y ≤ 0, a Invasão da Área 51 será um sucesso. Podemos descrever cada uma destas 3 variáveis (N; X; Y) em função das outras duas.
1. X ≥ (50-Y)/N | 2. N ≥ (50-Y)/X | 3. Y ≥ 50 – N.X |
Por exemplo, sabendo que para a Invasão da Área 51 foram confirmados mais de 2 milhões de participantes (sendo pessimistas, digamos que temos exatamente 2.000.001), log2(2.000.001) rushs < n ≤ 1+log2(2.000.001) rushs, ou seja, 20,9 < n < 21,9 (repare como a quantidade de pessoas aumenta em relação aos rushs, primeiro exemplo tínhamos 32 pessoas e 6 rushs, no segundo exemplo 1024 pessoas e 11 rushs, aqui temos mais de 2 milhões de pessoas e 21 rushs).
Supondo que destas, Y (distância máxima percorrida por alguém do grupo) seja 10 km. Temos a inequação 1.
X ≥ (50-10)/20
X ≥ 40/20
X ≥ 2.
Ou seja, se X for maior ou igual a 2 km, a Invasão será um sucesso. Isso significa, cada pessoa precisará correr carregando seu companheiro nas costas por 2 km.
Contudo, para as inequações:
4. X < (50-Y)/N
5. N < (50-Y)/X
6. Y < 50 – N.X
Não podemos garantir tão facilmente que a Invasão falharia, pois ainda seria possível rearranjarmos de rush com valores distintos de X1, X2, …, XN (distância que alguém consegue correr carregando outro nas costas) de modo a maximizar o total. Assim, a invasão falhará somente se:
MAX {50 – N.(X1 + X2 + … + XN) – Y} > 0.