Equação de Lotka-Volterra em Madoka Magi

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Puella Magi Madoka Magica, simplesmente referida como Madoka Magi, é uma série de anime que foi ao ar em 2011. O enredo segue um grupo de Garotas Comuns do Ensino Médio que optam por se tornarem Garotas Mágicas, com o objetivo de batalhar contra as denominadas Bruxas. Consequentemente, elas aprendem sobre o lado ruim de ser uma Garota Mágica… Pois a medida que o tempo passa ou utilizam seus poderes, elas vão se enchendo de impurezas e a única forma de limpar-se disto é com a alma tirada de uma Bruxa. Pois se deixarem que estas impurezas a consumam, elas mesmas se tornarão Bruxas. Apenas para completar o enredo, Bruxas criam Familiares que crescem até virarem Bruxas.

Para a continuidade da discussão, vamos estabelecer uma ordem com que as coisas acontecem no seu enredo.

No 0o período, a Garota Comum segue sua vida comum antes de virar uma Garota Mágica.

No 1o período, a Garota Comum se transforma em Garota Mágica e passa a caçar bruxas.

No 2o período, a Garota Mágica não conseguiu se purificar e virou a Bruxa1. A Bruxa1 tem poder para criar/manter o Familiar1.

No 3o período, o Familiar1 já cresceu e virou a Bruxa2 com o poder de criar o Familiar2, a Bruxa1 livre do seu familiar (que virou a Bruxa2) agora pode criar o Familiar3.

No 4o período, o Familiar2 já cresceu e virou a Bruxa3 com o poder de criar o Familiar4, a Bruxa2 livre do seu familiar (que virou Bruxa3) agora pode criar o Familiar5, o Familiar3 já cresceu e virou a Bruxa4 com o poder de criar o Familiar6, a Bruxa1 livre do seu familiar (que virou Bruxa4) agora pode criar o Familiar7.

No anime não fica definido a quantidade de vezes que o espólio de uma Bruxa pode ser usado para limpar as impurezas de uma Garota Mágica. Outro aspecto a ser observado diz respeito as batalhas que as desgastam poderem ter sua origem de confrontos contra Bruxas, mas também contra os Familiares das Bruxas. Mas diferente das Bruxas, os Familiares não dão espólio, assim, caçá-los apenas gera prejuízos para a Garota Mágica (tanto que algumas se recusam a caçar Familiares). Contudo, se a Bruxa que criou uma Familiar (no caso dele ainda não ter se transformado em uma Bruxa), for destruída, o Familiar também é destruído. A partir destes fatos podemos prosseguir a discussão explicando o que é o sistema presa-predador.

Sistema presa-predador, também conhecido como equações de Lotka-Volterra, são duas equações diferenciais não-lineares de primeira ordem frequentemente usadas para descrever a dinâmica populacional de duas espécies que interagem: uma como presa e a outra como predadora. Nestes modelos, assume-se que a única fonte de alimento para espécies predadoras são as populações de presas e que não há competição entre indivíduos da mesma espécie. Estas equações receberam este nome em referência ao matemático Vito Volterra e ao biofísico Alfred J. Lotka, que publicaram em 1925 dois estudos completamente distintos (pois os mesmos não se conheciam), mas em ambos utilizavam de forma inédita estas mesmas equações. Elas representam o primeiro modelo que tenta compreender a relação entre duas espécies (presa e predador), que apesar de não descrever uma relação completa desses seres no meio ambiente, pois não considera outros fatores senão a densidade populacional das espécies, trata-se de facilitar a compressão e fundamentar a elaboração de modelos mais complexos. Diversas relações em sistemas de presa e predador podem ser expressas a partir deste modelo, entre elas:

Linces e lebres;

Raposas e coelhos;

Joaninhas e pulgões;

Tubarões e peixes.

Devido a essa relação de presa/predador, podemos ter as seguintes situações finais:

1. Extinção de predadores;

2. Extinção de presas;

3. Coexistência de predadores e presas.

No contexto de Madoka Magi, precisamos das seguintes informações referentes a cada período de tempo como apresentado na árvore de crescimento das Bruxas.

A) Quantidade de Garotas Comuns que são convertidas para Garotas Mágicas durante aquele período (+Mahou/período);

B) Quantidade de Bruxas que uma Garota Mágica consegue eliminar (Presas/período);

C) A quantidade de vezes que um mesmo espólio de Bruxa pode ser usado para tirar as impurezas de Garotas Mágicas (Purificação);

D) Quantidade atual de Garotas Mágicas (Mahou X);

E) Quantidade atual de Bruxas (Bruxas Yi).

Com estas informações e assumindo que as Garotas Mágicas não sejam derrotas pelas Bruxas. Assim, para Yi Bruxas iniciais e X Garotas Mágicas capazes de caçar até c Bruxas cada uma. Teremos no final do primeiro período:

Yf =

Yi-X.c se Yi > X.c

0, caso contrário

Chamaremos Yf a quantidade de Bruxas que sobrevivem na totalidade daquele período. Este número será dobrado no período seguinte, quando assumirá Yi.

Se a quantidade de Purificações disponíveis pelos espólios das Bruxas não for o suficiente para todas as Garotas Mágicas naquele período, aquelas que não se purificarem consequentemente se transformarão em Bruxas no próximo período. Observe que Yf sempre será 0 quando houver pelo menos uma Garota Mágica que não se purificou. Assim, as novas Bruxas virão diretamente das Garotas Mágicas que se transformarão em Bruxas.

Para agilizar, implementei o sistema numa planilha eletrônica no qual as partes coloridas correspondem as entradas listadas anteriormente como A (1), B (2), C (3), D (3), E (15).

Para facilitar a interpretação destes dados represento-os abaixo num gráfico com entradas até o 40o período. Nele o eixo horizontal são os períodos e o vertical a quantidade de cada espécie (Garotas Mágicas e Bruxas).

Agora uma situação um pouco diferente, no qual a quantidade inicial de Bruxas, que antes era 15, mudou para 16:

Perceba a mudança no resultado que segue até o 15o período. O que antes reduzia agora mantêm um crescimento estável além do controle das Garotas Mágicas. A influência de uma única Bruxa a mais desequilibrou o sistema. Para facilitar a leitura destes dados, represento-os num gráfico no qual o eixo horizontal são os períodos, e o vertical a quantidade de cada uma (Garotas Mágicas e Bruxas).

Com esta análise, podemos perceber como o contexto do anime Puella Magi Madoka Magica se encaixa no sistema Presa-Predador proposto inicialmente pelas equações de Lotka-Volterra, cujos sistemas que permitem a coexistência entre espécies apresentam resultados semelhantes ao gráfico da página anterior. No gráfico desta página entretanto, a população de Bruxas foge ao controle das Garotas Mágicas. Isto no contexto do anime levaria a obliteração do nosso mundo, pois as Bruxas causam malefícios aos seres humanos.

Agradeço ao meu amigo Alisson Almeida Bueno pelo apoio nos cálculos e discussões a respeito de Puella Magi Madoka Magica (o qual foi ele quem me recomendou assistir).

Agradeço a minha esposa Adelle Marques Trevisan, pelo desenho que utilizei de fundo para a capa deste post.

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