Demonstre teoremas e ganhe bombons

E ai, você faz Matemática, né? Então tenta demonstrar essa propriedade…

A frase acima é de assustar, até mesmo para matemáticos formados. Afinal, mesmo que tenhamos feito uma graduação fundamentada em demonstrações, pedir para demonstrarmos algo sem que estejamos estudando o assunto, é de dar medo.

Mas se temos a habilidade necessária para demonstrar e já vimos o assunto, o que nos falta?

Nesse sentido, considero que demonstrar seja bem parecido com programar. Pois a demonstração envolve construir um argumento embasado num conjunto de verdades previamente aceitas e seguindo uma estrutura lógica determinada, de modo que comecemos das hipóteses do enunciado e cheguemos em sua conclusão. Um processo análogo por exemplo a programar um “Hello World!”

Na programação você pode ter programas simples ou complexos fazendo exatamente as mesmas ações, como por exemplo, calcular a sequência de Fibonacci. Se feito de modo iterativo é extremamente rápido, mas se for feito modo recursivo, o mesmo cálculo pode levar mais do que a idade do universo.

Nas demonstrações temos um quadro análogo, os mesmos resultados podem ser demonstrados por processos simples ou complexos. Por exemplo, provar que a raíz cúbica de 2 é um número irracional:

Jeito simples:
Suponha que 2^(1/3) seja Racional, assim, da definição de número Racional, 2^(1/3) pode ser escrito como p/q, onde p e q são Inteiros primos entre si.
Temos que p/q = 2^(1/3), logo:
(p³)/(q³) = 2
p³ = 2.q³
Portanto, p é par. Assim, p pode ser escrito como 2.r, onde r é um inteiro.
p³ = (2.r)³ = 2.q³
8.r³ = 2.q³
4.r³ = q³
Portanto, q é par.
Portanto, p e q têm fator comum 2, o que é uma contradição.

Jeito complicado:
Suponha que 2^(1/3) seja Racional, assim, da definição de número Racional, 2^(1/3) pode ser escrito como p/q, onde p e q são Inteiros primos entre si.
Temos que p/q = 2^(1/3), logo:
(p³)/(q³) = 2
p³ = 2.q³
p³ = q³ + q³
O que não é verdade, pois pelo Último Teorema de Fermat a equação
x^n + y^n = z^n
não tem solução com n > 2 e (x, y, z) Naturais.

Uma diferença “sutil” a partir da 5a linha, que dista um conceito matemático que levou cerca de 2.500 anos para se desenvolver (jeito simples, disponível desde a Escola Pitagórica ~ 500 a.C // jeito complexo, disponível apenas a partir de 1994).

Assim, começar as cegas uma demonstração assim como criar um código, é um jogo bastante arriscado, pois podemos seguir por um caminho aparentemente funcional, mas que é muito mais complexo do que o necessário. Mas se tivéssemos algumas informações sobre como a demonstração poderia ser, talvez enxergássemos mais facilmente um caminho mais simples para aquela prova.

Foi assim que começou no dia 23 de Agosto de 2019, numa mesinha do subsolo do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Unicamp, com uma caixa de bombons e três conjuntinhos de peças de papel, o evento conhecido como “Demonstre Teoremas e Ganhe Bombons”.

No caso, tínhamos para provar:

1. Se f(x) é menor ou igual que g(x) para todo x em um intervalo aberto que contêm a, e limite quando x tende à a de f(x) e de g(x) é igual a L e M respectivamente, então L é menor ou igual a M;
2. A derivada da constante pela função, é igual ao produto da constante pela derivada da função;
3. A derivada da soma das funções, é igual a soma da derivada das funções;

Para escrever cada demonstração tínhamos de 6 a 7 peças para juntar de um modo que fizesse sentido com o enunciado. A dinâmica desse dia foi bem positiva, vários alunos do instituto apareciam dizendo que não sabiam demonstrar assim de cabeça, mas vendo que se tratava de juntar as peças, arriscavam a aplicar seu raciocínio matemático de modo a escrever a demonstração corretamente.

A relação de demonstrar com programar é de fato tão próxima, que alguns alunos do Instituto de Computação da Unicamp reproduziram essa ideia naquele mesmo dia na parte da tarde, envolvendo em uma espécie de rivalidade com os Matemáticos o “Resolva 1 programa e ganhe um chocolate”.

Na semana seguinte, dia 29 de agosto de 2019, realizei outra edição, depois outra no dia 03 de março de 2020. Desde então, começou a pandemia de COVID-19 e esses eventos ficaram inviáveis presencialmente.

Mas se você sente vontade de demonstrar algumas propriedades matemáticas, pode fazer isso virtualmente ainda com o game Arrasta o X, criado a partir de todas essas experiências acumuladas e de suas contribuições com essa pesquisa esquisita que realizo 😛

Link para jogar: https://scratch.mit.edu/projects/553580277/

Se você participou de algum Demonstre e ganhe bombons, jogou o Arrasta o X ou simplesmente gostou do post, comenta ai 🙂

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Demonstre teoremas e ganhe bombons. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 6. Ed. 1. 2º semestre de 2021. Campinas, 17 jul. 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3066/. Acesso em: <data-de-hoje>.