Que tal sermos mais contrapositivos?

Muitas pessoas falam dos benefícios da positividade, de sermos mais positivos no nosso dia-a-dia e de como isso pode nos ajudar com nossos problemas. Mas para resolvermos alguns tipos de problemas, é mais interessante irmos na direção contrária… isso não quer dizer sermos negativos, mas sim, contrapositivos.

Vamos entender então como podemos ser contrapositivos.

Pensemos primeiro em algumas relações comuns:

• Se fizer sol, vou na praia;
• Se tiver abobrinha na promoção, comprarei abobrinha;
• Se estiver calor, tomarei banho.

Nessas relações, há uma condição (chamaremos de P) que precisa ocorrer para a outra ação (chamaremos de Q) ser realizada. Assim, em uma notação um pouco mais genérica temos “se P então Q”.

Perceba que SEMPRE quando acontecer o evento P, o evento Q também deve ocorrer. Porém, nada impede que o evento Q ocorra sem que P tenha ocorrido.

• Não fez sol, mas fui na praia;
• A abobrinha não estava na promoção, mas comprei mesmo assim;
• Não estava calor, mas tomei banho.

Organizando o que expliquei na forma de uma tabela (também conhecida como Tabela Verdade) na qual analisamos todas as possibilidades de P e Q ocorrerem e como isto resulta na nossa relação “se P então Q”.

P	Q	P → Q
VERDADEIRO	VERDADEIRO	VERDADEIRO
VERDADEIRO	FALSO	FALSO
FALSO	VERDADEIRO	VERDADEIRO
FALSO	FALSO	VERDADEIRO

A ideia de ser contrapositivo é pensar na negativa desses eventos. Ou seja, “NÃO P” e “NÃO Q”, mas nesse caso, também precisamos pensar na negativa da relação ente eles, que será “se NÃO Q então NÃO P”.

Opa, agora ficou estranho? Porque inverti o que antes era a condição para agora ser a consequência?

Vejamos os enunciados anteriores nas suas formas contrapositivas para entendermos melhor porque fizemos essa inversão:

• Se eu não for na praia, é porque não estava fazendo sol;
• Se eu não comprar abobrinha, é porque não tinha abobrinha na promoção;
• Se eu não tomar banho, é porque não estava calor.

Organizando o que expliquei na forma de uma Tabela Verdade na qual analisamos todas as possibilidades de NÃO Q e NÃO P ocorrerem e como isto resulta na nossa relação “se NÃO Q então NÃO P”.

NÃO Q	NÃO P	NÃO Q → NÃO P
FALSO	FALSO	VERDADEIRO
VERDADEIRO	FALSO	FALSO
FALSO	VERDADEIRO	VERDADEIRO
VERDADEIRO	VERDADEIRO	VERDADEIRO

Uau! Chegamos nas mesmas situações em que um evento ocorre em razão do outro (mas você já suspeitava que isso aconteceria, né?)

Um exemplo de como ser contrapositivo pode nos ajudar a resolver problemas (principalmente na matemática), vejamos o seguinte enunciado:

• Para x ∈ ℤ, prove que se x² é par, então x é par.

Demonstrar de forma direta esse problema envolve escrever x² da forma 2.n com n ∈ ℤ, mas daí precisaríamos mostrar que √(2.n) é par, e particularmente eu não gostaria de enfrentar essa raíz quadrada se não for mesmo necessário.

Uma alternativa é pensarmos na contrapositiva deste enunciado, onde

• P: x² é par
• Q: x é par
• P → Q: se x² é par, então x é par

Ao escrevermos a negação de P e Q, temos

• NÃO P: x² não é par
• NÃO Q: x não é par
• NÃO Q → NÃO P: se x não é par, x² não é par

Mas como estamos no conjunto dos Inteiros, se um número não é par, então ele é ímpar. Ou seja, a contrapositiva daquele enunciado é:

• Para x ∈ ℤ, prove que se x é ímpar, então x² é ímpar.

Essa demonstração já apareceu no post Mostrar, Provar ou Demonstrar, eis a questão.

Veja que curioso, os dois enunciados a princípio parecem diferentes, mas ao sermos mais “contrapositivos”, podemos ver que demonstrar um é equivalente a demonstrar o outro. E particularmente, demonstrar que se x é ímpar, então x² é ímpar, é bem mais tranquilo.

Viu como mudar a forma como olhamos para um problema pode reduzir bastante a dificuldade em resolvê-lo?

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Que tal sermos mais contrapositivos?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 7. Ed. 1. 1º semestre de 2022. Campinas, 02 fev. 2022. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3696/. Acesso em: <data-de-hoje>.