Que tal sermos mais contrapositivos?
Muitas pessoas falam dos benefícios da positividade, de sermos mais positivos no nosso dia-a-dia e de como isso pode nos ajudar com nossos problemas. Mas para resolvermos alguns tipos de problemas, é mais interessante irmos na direção contrária… isso não quer dizer sermos negativos, mas sim, contrapositivos.
Vamos entender então como podemos ser contrapositivos.
Pensemos primeiro em algumas relações comuns:
- Se fizer sol, vou na praia;
- Se tiver abobrinha na promoção, comprarei abobrinha;
- Se estiver calor, tomarei banho.
Nessas relações, há uma condição (chamaremos de P) que precisa ocorrer para a outra ação (chamaremos de Q) ser realizada. Assim, em uma notação um pouco mais genérica temos “se P então Q”.
Perceba que SEMPRE quando acontecer o evento P, o evento Q também deve ocorrer. Porém, nada impede que o evento Q ocorra sem que P tenha ocorrido.
- Não fez sol, mas fui na praia;
- A abobrinha não estava na promoção, mas comprei mesmo assim;
- Não estava calor, mas tomei banho.
Organizando o que expliquei na forma de uma tabela (também conhecida como Tabela Verdade) na qual analisamos todas as possibilidades de P e Q ocorrerem e como isto resulta na nossa relação “se P então Q”.
P | Q | P → Q |
VERDADEIRO | VERDADEIRO | VERDADEIRO |
VERDADEIRO | FALSO | FALSO |
FALSO | VERDADEIRO | VERDADEIRO |
FALSO | FALSO | VERDADEIRO |
A ideia de ser contrapositivo é pensar na negativa desses eventos. Ou seja, “NÃO P” e “NÃO Q”, mas nesse caso, também precisamos pensar na negativa da relação ente eles, que será “se NÃO Q então NÃO P”.
Opa, agora ficou estranho? Porque inverti o que antes era a condição para agora ser a consequência?
Vejamos os enunciados anteriores nas suas formas contrapositivas para entendermos melhor porque fizemos essa inversão:
- Se eu não for na praia, é porque não estava fazendo sol;
- Se eu não comprar abobrinha, é porque não tinha abobrinha na promoção;
- Se eu não tomar banho, é porque não estava calor.
Organizando o que expliquei na forma de uma Tabela Verdade na qual analisamos todas as possibilidades de NÃO Q e NÃO P ocorrerem e como isto resulta na nossa relação “se NÃO Q então NÃO P”.
NÃO Q | NÃO P | NÃO Q → NÃO P |
FALSO | FALSO | VERDADEIRO |
VERDADEIRO | FALSO | FALSO |
FALSO | VERDADEIRO | VERDADEIRO |
VERDADEIRO | VERDADEIRO | VERDADEIRO |
Uau! Chegamos nas mesmas situações em que um evento ocorre em razão do outro (mas você já suspeitava que isso aconteceria, né?)
Um exemplo de como ser contrapositivo pode nos ajudar a resolver problemas (principalmente na matemática), vejamos o seguinte enunciado:
- Para x ∈ ℤ, prove que se x² é par, então x é par.
Demonstrar de forma direta esse problema envolve escrever x² da forma 2.n com n ∈ ℤ, mas daí precisaríamos mostrar que √(2.n) é par, e particularmente eu não gostaria de enfrentar essa raíz quadrada se não for mesmo necessário.
Uma alternativa é pensarmos na contrapositiva deste enunciado, onde
- P: x² é par
- Q: x é par
- P → Q: se x² é par, então x é par
Ao escrevermos a negação de P e Q, temos
- NÃO P: x² não é par
- NÃO Q: x não é par
- NÃO Q → NÃO P: se x não é par, x² não é par
Mas como estamos no conjunto dos Inteiros, se um número não é par, então ele é ímpar. Ou seja, a contrapositiva daquele enunciado é:
- Para x ∈ ℤ, prove que se x é ímpar, então x² é ímpar.
Essa demonstração já apareceu no post Mostrar, Provar ou Demonstrar, eis a questão.
Veja que curioso, os dois enunciados a princípio parecem diferentes, mas ao sermos mais “contrapositivos”, podemos ver que demonstrar um é equivalente a demonstrar o outro. E particularmente, demonstrar que se x é ímpar, então x² é ímpar, é bem mais tranquilo.
Viu como mudar a forma como olhamos para um problema pode reduzir bastante a dificuldade em resolvê-lo?
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Que tal sermos mais contrapositivos?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 7. Ed. 1. 1º semestre de 2022. Campinas, 02 fev. 2022. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3696/. Acesso em: <data-de-hoje>.