Integramamão tripla

No Cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano. De forma bem simplória, uma integral precisa de uma posição inicial (xi) de onde a função iniciará e uma posição final (xf), de até onde mediremos o valor da função. Por exemplo, a área de um triângulo como mostro abaixo. Temos que sua base começa em xi e termina em xf, se conhecermos a função linear que forma sua hipotenusa, podemos deduzir qual a altura do triângulo e então encontrar sua área. Isso é integração.

Contudo, xi e xf não precisam corresponder ao começo e fim da base. Podemos ter por exemplo xf menor que a base, e ainda assim, conhecendo a função que define sua hipotenusa, podemos deduzir sua altura e assim calcular sua área.

O mesmo vale para caso xi corresponda a uma posição que não seja o início da base. Podemos calcular a altura da função hipotenusa em xf e em xi, e então subtrair as áreas para encontrar a região azul.

No caso a hipotenusa de um triângulo retângulo é algo muito simples, mas poderíamos ter funções bem menos lineares que essa, e ainda assim utilizar desses mesmos conceitos. Como por exemplo, esse mamão que eu tinha na geladeira.

Ele pode não parecer muito com um triângulo, mas vamos observá-lo melhor. No caso, o xi seria seu talo e o xf a parte mais larga. Ainda não parece muito, né? Afinal, triângulos tem essa ponta no xi, e o mamão é redondinho ali. Mas, vamos deslocar o xi um pouco mais para a direita com a nossa função matemática chamada “faca”.

Agora que deslocamos xi mais para a direita, a região do mamão corresponde melhor com a região do nosso triângulo.

Caso esteja difícil de visualizar, abaixo sobreponho o triângulo com o mamão.

Veja que quanto mais à direita eu deslocar o xi, mais minha figura se parecerá com um retângulo. De fato, quanto mais parecido com um retângulo ficar esse segmento, mas fácil de trabalhar com ele (retângulos são legais).

Contudo, mamões são frutas tridimensionais, diferente de triângulos que não são frutas e nem são tridimensionais. Podemos então enxergar o segmento de mamão do sua largura e comprimento, ignorando agora sua altura.

Com base nessas orientações e fixando o centro, temos interesse na região que esta entre yi (início da polpa) e yf (fim da polpa).

Então podemos fixar a função “faca” primeiro em yi.

Então executamos a função “faca” no intervalo entre 0° e 360° (particularmente, é mais fácil manter a faca fixa e rotacionar o mamão).

Repetimos o processo fixando a faca em yf.

Então executamos a função “faca” no intervalo entre 0° e 360°.

Nossa região de interesse esta entre yi e yf, podemos então considerar apenas esse intervalo, e chegamos assim na polpa que nos interessa.

Pronto! Terminamos de “integrar” nosso mamão, vamos relembrar o que fizemos:

1. Determinamos a altura da polpa como xi até xf;
2. Determinamos a altura vezes o comprimento da polpa integrando de yi até yf;
3. Determinamos o volume da polpa integrando entre de 0° a 360°.

Simples, agora coma o mamão e seja feliz 😀

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Integramamão tripla. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 5. Ed. 1. 1º semestre de 2021. Campinas, 24 fev. 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/2676/. Acesso em: <data-de-hoje>.