Terrivelmente Harmônico

Na matemática algumas coisas importantes possuem nomes, uma delas é a famosa Série Harmônica, que chamaremos neste texto de H, e o n-ésimo termo desta série de H(n). Então H(n) é dado por 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n.

Hora de brincar um pouco com isto.

H(1)=1,00

H(2)=1+1/2=1,50

H(3)=1+1/2+1/3=1,83

H(4)=1+1/2+1/3+1/4=2,08

H(5)=1+1/2+1/3+1/4+1/5=2,28

H(6)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=2,45

H(7)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7=2,59

H(8)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8=2,71

H(9)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9=2,82

H(10)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2,92

H(100)=1+1/2+1/3+…+1/100=5,18

H(1.000)=1+1/2+1/3+…+1/1000=7,48

H(10.000)=1+1/2+1/3+…+1/10000=9,78

Mas uma dúvida começa a crescer junto com esta série… será que em algum momento ela vai parar de crescer?

Dizemos que uma série diverge quando ela não converge (uma clara explicação ao estilo da matemática…). Sendo um pouco mais específico, a convergência de uma série implica na sua estabilização a medida que o índice dos termos aumenta.

Por exemplo, a série S = 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+… converge para o número 2. Há dois modos de mostrar isto:

Jeito 1) Multiplique S por 2. Temos então 2S=2+1+1/4+1/8+1/16+1/32+… Mas 2S – S = S. Logo, posso subtrair os termos S da série 2S e obter seu valor final:

1 se anula com 1;

½ se anula com ½;

¼ se anula com ¼;

1/8 se anula com 1/8;

1/16 se anula com 1/16;

1/32 se anula com 1/32;

três pontinhos” se anula com “três pontinhos”.

O que sobra é o 2.

Jeito 2) Desenhe dois quadrados do mesmo tamanho. Pinte o primeiro (temos 1 quadrado pintado);

Agora divida o 2o quadrado ao meio e pinte uma metade (temos 1+1/2 quadrados pintados);

Agora divida a parte não pintada do 2o quadrado ao meio e pinte-a também (temos 1+1/2+1/4 quadrados pintados);

Agora divida a parte não pintada do 2o quadrado ao meio e pinte-a também (temos 1+1/2+1/4+1/8 quadrados pintados);

Agora divida a parte não pintada do 2o quadrado ao meio e pinte-a também (temos 1+1/2+1/4+1/8+1/16 quadrados pintados);

Perceba que repetindo este processo muitas vezes, a região “não pintada” praticamente desaparece, ou seja, no final de infinitas divisões da parte não pintada teremos 2 quadrados inteiramente pintados.

Ou seja, sempre podemos achar um N tal que este somatório esteja tão perto do número 2 quanto queiramos, isto de forma simples, significa que a série é convergente… e aqui vai uma piada sobre séries convergentes.

Era uma vez um bar no qual se formou uma fila de infinitos matemáticos. O primeiro matemático pediu ½ garrafa de uísque, o segundo pediu ¼ da garrafa, o terceiro pediu 1/8 da garrafa, o quarto pediu 1/16 da garrafa… e assim sucessivamente. Cansado de ouvir seus pedidos, o dono do bar colocou na mesa uma garrafa de uísque cheia e foi embora. Os matemáticos questionaram sobre seus pedidos e o dono do bar respondeu: por favor senhores, conheçam seus limites!

(sim, matemáticos adoram inventar piadas, e geralmente ninguém ri delas)

Voltando ao assunto, uma série é divergente quando ela não se aproxima de nenhum número. No caso, temos séries que oscilam indefinidamente, como por exemplo 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1… esta série independente de quanto seu índice cresça, nunca estará realmente próxima de 1 e nem de 0. Neste caso, é uma série divergente. Outro tipo de série divergente é a série que diverge para o infinito (ou para o infinito negativo).

Podemos pensar que a Série Harmônica não passará por isto, afinal quanto mais o índice dela crescer, seu n-ésimo termo 1/n vai se aproximar cada vez mais de 0. Então teremos uma soma de números muito próximos de 0, e como aprendemos na escola, 0+0+0+0+0+0+…+0 = 0, mas aqui está um erro, os termos desta série se aproximam de 0, mas não são realmente iguais a 0.

Mas como podemos ter certeza de que uma coisa que cresce tão lentamente (afinal, quanto maior o n se torna, mais próximo de 0 seus termos ficam), pode ir para o infinito?

Por esta razão, trato a Série Harmônica como “A Série Terrivelmente Lenta com uma Convergência Extremamente Ineficiente”. Pois é uma série que cresce lentamente, mas muito lentamente mesmo, e que sua convergência (ou seja, sua estabilização em um número) é ineficiente (dado que ela diverge, crescendo para o infinito).

Este título é referência ao personagem Ginosaji, do vídeo “O Assassino Terrivelmente Lento com a Arma Extremamente Ineficiente”, dado que ele leva anos para matar sua vítima, atingindo-a com furiosas colheradas usando a parte arredondada de uma colher de sopa, até que ela sucumba aos ferimentos da sua terrível colher.

Certo, mas você pode estar pensando, isto vai mesmo crescer para sempre? E para um n = 10.000.000.000? Ou talvez isto nunca passe de um número muito grande, como por exemplo, 10.000.000.000. Então, estas são dúvidas comuns, especialmente para uma série que cresce tão lentamente. E é por isso que vou mostrar aqui a demonstração de divergência da série Terrivelmente Lenta.

Primeiro vamos expandir um pouco esta série:

H(n)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+…

Vejamos que o terceiro termo é maior que 1/4 (óbvio, 1/3 > 1/4).

Também, que o quinto, sexto e sétimos termos são maiores que 1/8.

O nono até o décimo quinto termos, cada um deles é maior que 1/16.

Consequentemente, do décimo sétimo termo até o trigésimo primeiro termo, será cada um maior que 1/32, e assim por diante.

Generalizando, os termos entre 2n-1+1e 2n-1 serão maiores que 1/2n. Com isto, nós podemos criar uma série que cresce mais lentamente que a série Harmônica, que chamaremos de SH (super harmônica). Vamos então expandir um pouco está duas séries.

H(n)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+…

SH(n)=1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/32+…

Você pode estar pensando, se já é difícil mostrar que a série harmônica cresce até o infinito, quem dirá mostrar que a super harmônica cresce até o infinito? Mas pelo contrário, mostrar que a super harmônica cresce até o infinito é mais fácil do que parece. E como a harmônica é maior que a super harmônica, mostrar que a super harmônica vai até o infinito, nos garante que a harmônica também vai.

Observe que para qualquer termo n maior do que 1 da super harmônica, se somarmos os termos entre 2n-1+1 até 2n, nós teremos exatamente 1/2.

SH(n)=1+1/2+[(1/4+1/4)=0,5]+[(1/8+1/8+1/8+1/8)=0,5]+[(1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16)=0,5]+[(1/32+…+1/32)=0,5]+ [(1/64+…+1/64)=0,5]+ 1/128+…

Com isto, nós podemos garantir que para SH(n) com n>2m, SH será maior que 1+(m/2). Então, para qualquer número k que escolhamos, sendo k suficientemente grande, nós podemos encontrar m tal que 1+(m/2)>k, e com isto temos que SH(n) com n>2m, que implica H(n)>SH(n)>k. Isto demonstra que SH diverge para o infinito, e por consequência a série Harmônica, que é maior do que a série Super Harmônica, também deve divergir para o infinito.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Terrivelmente Harmônico. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 1. Ed. 1. 1º semestre de 2019. Campinas, 22 jun. 2019. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/268/. Acesso em: <data-de-hoje>.

4 thoughts on “Terrivelmente Harmônico

    • 20 de junho de 2021 em 12:29
      Permalink

      Obrigado Rodrigo 🙂

      Resposta
  • 16 de fevereiro de 2022 em 11:55
    Permalink

    Mano, na boa ?
    Que explicação detalhada e maneira que você criou para explicar um ‘fenômeno’ que leva quase meio semestre de ou Cálculo IV ou Análise I (que eu me lembre…) para um professor inculcar nas cabeças dos alunos…

    SENSACIONAL.

    Resposta
    • 16 de fevereiro de 2022 em 17:12
      Permalink

      Que bom que gostou do post Rodney,

      a primeira vez que vi a divergência da série harmônica foi difícil de entrar na cabeça… apesar de achar sensacional, realmente ela não é nada intuitiva 🙂

      Resposta

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