Em xadrez infinito, seu rei sempre estará na mira de um bispo

Pense num xadrez convencional exceto pelo fato dele não ter peões e ter dimensões horizontal e vertical infinitas.

Mas diante tantos tipos de infinitos, vamos dizer que no sentido horizontal eles sejam equivalentes aos números Inteiros, com a posição do rei preto como o 0. À direita dele (sentido da rainha) temos os números Inteiros positivos, e à esquerda com rei preto os números Inteiros negativos.

Já no sentido vertical também vamos usar os números inteiros como modelo, imaginemos a linha do rei preto como -1, e todas as linhas para frente dessa linha como -2, -3, -4, … até -∞. De forma análoga, o rei branco encontra-se na linha 1, e todas as linhas para frente dele como 2, 3, 4, …, até ∞.

Então por exemplo, se avançamos o rei preto em uma casa, ele ocupará a posição {horizontal(0), vertical(-1)}. Se avançarmos duas casas o rei branco, ele ocupará a posição {horizontal(0), vertical(2)}.

Assim, podemos descrever qualquer posição em relação às peças brancas ou às peças pretas.

Vamos assumir que cada jogador tem apenas um rei e uma rainha, mas que o padrão bispo-cavalo-torre se repete nas infinitas casas horizontais à direita e à esquerda, como mostro na figura abaixo.

Como as casas seguem o padrão casa-preta e casa-branca, e temos que o conjunto é limitado verticalmente, a quantidade de casas verticais é dada por 2N onde N é um número Natural tão grande quanto se queira.

Considerando as regras usuais do xadrez, temos que é impossível cavalos e reis chegarem em posições referentes ao outro lado. Por exemplo, o rei branco movimentando-se para frente por K movimentos, estará no máximo na posição vertical(K+1), para qualquer K teremos sempre podemos tomar um N maior, logo, cruzar a “divisória” vertical do tabuleiro para essas peças é impossível em um número finito de movimentos.

Por outro lado, torres, bispos e rainhas podem se mover uma quantidade “qualquer” de peças, chamemos de X, assim, para qualquer N podemos tomar X > (2N – c), onde c é um número Natural. Desse modo, essas peças podem cruzar a divisória vertical do tabuleiro.

Por exemplo, imagine a torre do rei preto localizada na posição {horizontal(4), vertical(-1)};
Avançamos a torre {horizontal(4), vertical(-1)} – move para – {horizontal(4), vertical(-10)};
Avançamos a torre {horizontal(4), vertical(-10)} – move para – {horizontal(6), vertical(-10)};
*Agora que temos a torre preta em frente a um cavalo branco*
Avançamos a torre {horizontal(6), vertical(-10)} – move para {horizontal(6), vertical(1)}.
*Ou seja, a torre preta, avançou X casas na vertical, no qual X é igual à (2N – 10)* eliminando o cavalo branco.

Até ai tudo bem, podemos imaginar algumas jogadas na vertical e na horizontal. Porém, o que pensar dos bispos? Se um bispo se move X casas na diagonal onde é que ele vai parar?

Por exemplo, suponha que o rei branco está na posição {horizontal(0), vertical(1)}, o rei branco estará sendo ameaçado por algum bispo preto? Temos 3 opções para analisar:

  1. Nenhum bispo ameaça o rei;
  2. Um bispo ameaça o rei;
  3. Dois bispos ameaçam o rei;

Supondo que nenhum bispo encontra-se na posição horizontal(2N) ou (-2N). Mas as posições dos bispos é dada por:

… -18, -15, -12, -9, -6, -3, 2, 5, 8, 11, 14, 17 …

Analisando essas posições em valor absoluto, temos:

2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, …

Expressando essas posições em forma algébrica, as posições horizontais em módulo maiores que 0 onde não teremos nenhum bispo será dada por (3B-2), onde B é um número Natural maior que 0.

Assim, para 2N casas verticais onde N é um Natural, podemos reescrever como 2N = 3B-2, logo, quando N = (3B-2)/2, nenhum bispo estará ameaçando o rei branco.

Mas como N é um Natural qualquer, então deve existir N tal que N ≠ (3B-2)/2. Assim, descartamos a primeira opção (nenhum bispo ameaça o rei).

Agora se supomos que dois bispos ameaçam o rei, então N = (3B-1)/2 e N = 3B/2 para qualquer N. Se isso fosse verdade, então:


(3B-1)/2 = 3B/2,
mas isso implicaria que,
3B – 1 = 3B
mas chegaríamos que
-1 = 0

Ou seja, essa alternativa seria também absurda.

Por fim, chegamos que independente do valor de N, existirá um bispo apontando para o rei branco.

De forma ainda mais assustadora, sempre haverá um bispo apontando para o rei branco. Pois mesmo que esse bispo específico ataque e morra, sempre poderemos escolher um outro bispo cujo N = (3B-1)/2 ou N = 3B/2, de modo que esteja apontando exatamente para o rei branco. Isso pois N é um Natural qualquer tão grande quanto quisermos.

Imagem de capa adaptada de Ramon Perucho por Pixabay


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Em xadrez infinito, seu rei sempre estará na mira de um bispo. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 5. Ed. 1. 1º semestre de 2021. Campinas, 06 mar. 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/2702/. Acesso em: <data-de-hoje>.

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