Crochê e o teorema das duas cores

Toda a comunidade matemática conhece o famoso Teorema das 4 Cores. Sua declaração afirma que qualquer mapa, desenhado no plano, pode ser pintado com 4 cores sem que regiões vizinhas tenha as mesmas cores.

Mas existe um teorema mais humilde, não tão robusto quanto o anterior, mas ainda assim muito interessante chamado de “teorema das duas cores”. Legal, mas o que isso tem a ver com crochê?

Vamos imaginar um crochê usado para fazer superfícies planas como tapetes, e com regiões de cores bem definidas. Como a figura abaixo:

Podemos imaginar o padrão de cores desse tapete seguindo uma estrutura similar a essa:

Facilmente, podemos com duas cores, colorir todas as suas regiões, sem que regiões vizinhas tenham a mesma cor, como mostro abaixo com as cores vermelho e azul:

Também é fácil encontrar tapetes que não podem ser coloridos com apenas 2 cores, sem que regiões vizinhas tenham a mesma cor, como no exemplo abaixo:

Se generalizarmos esse tapete, teremos algo parecido com isso:

Para ver que é impossível colorir com apenas duas cores sem que regiões vizinhas tenham a mesma cor, observe o quadrado do centro. Se pintarmos ele de azul. As duas regiões adjacentes a ele deveriam ser pintadas de vermelho. Mas essas regiões são adjacentes entre si, logo seriam regiões vizinhas com a mesma cor.

Você pode estar pensando, enfim, existem mapas/tapetes que podem ser pintados com 2 cores e outros que não, e ninguém sabe se será possível até que tente… Errado! É ai que entra o nosso não tão famoso, mas importante, teorema das duas cores! Ele garante que qualquer mapa/tapete desenhado apenas por curvas fechadas entrelaçadas pode ser pintado com apenas duas cores, sem que regiões vizinhas tenham cores iguais. Abaixo tenho um videozinho mostrando alguns casos:

A inspiração para esse post surgiu no exato momento que vi os seguintes tapetinhos de crochê:

Na hora, percebi que eles podiam ser generalizados como curvas fechadas entrelaçadas:

Desse modo, de antemão a tentar, já sabia que era possível colorir essas regiões com no máximo duas cores! Agora farei essa coloração com azul e vermelho mostrar que de fato é possível!

Espero que tenha gostado desse texto 🙂

Imagem de capa obtida em instagram.com/croche.para.aprender._/


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Crochê e o teorema das duas cores. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 6. Ed. 1. 2º semestre de 2021. Campinas, 30 jul. 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3276/. Acesso em: <data-de-hoje>.

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