Um desafio peculiar
Fazem uns 4 meses desde que não escrevo nenhum novo post… mas muita coisa aconteceu nesse período, dentre elas, estive dando uma organizada nos Desafios de Matemática (https://integravel.github.io/desafios), revendo algumas resoluções que fiz porcamente e agora tento deixá-las mais inteligíveis, vendo também de remover figuras que não foram inteiramente geradas por mim (um processo de de-IA-sização). Enfim, a coleção de desafios estava pronta a uns 2 anos com seus 450 desafios, e tinha certeza de que não daria continuidade a ela, mas a certeza é algo capaz de nos surpreender :3
Essa semana em aula, um aluno me pediu ajuda para resolver um exercício de uso do Teorema de Pitágoras, que aparentemente parece “simples”, mas traz uma beleza singular. Apresentarei uma versão genérica dele:
Dado um triângulo com hipotenusa X, e perímetro Y, com X e Y números Reais maiores que 0, e Y > X. Determine a medida dos outros catetos desse triângulo.
Podemos pensar nesse exercício como uma situação na qual você tem uma corda de comprimento Y, define uma medida X como sendo o maior lado de um triângulo retângulo e então fecha o triângulo com o restante da corda.
A resolução desse exercício segue abaixo:
Seja A e B os catetos desse triângulo.
A + B + X = Y ->
A + B = Y – X (como Y e X são números, até aqui ta tranquilo) ->
A = Y – X – B (agora escrevemos A em função de B)
Vamos então aproveitar da relação do triângulo retângulo:
A² + B² = X²
Substituindo A temos:
(Y – X – B)² + B² = X² ->
B² + 2BX – 2BY + X² – 2XY + Y² + B² = X² ->
2B² + 2B(X – Y) + X² – X² – 2XY + Y² = 0 ->
2B² + 2B(X – Y) – 2XY + Y² = 0
Como X e Y são números conhecidos, chegamos em uma equação de 2o grau, que pode ser resolvida como:
B = [ -2(X – Y) +- sqrt( (2X – 2Y)² – 4*2*(-2XY + Y²) ) ] / 2*2
B = [ -2(X – Y) +- sqrt( 4X² – 8XY + 4Y² +16XY – 8Y²) ] / 4
B = [ -2(X – Y) +- 2*sqrt( X² + 2XY – Y²)] / 4
B = [ -X + Y +- sqrt( X² + 2XY – Y²)] / 2
(acho que reduzi ao máximo que dava, o resto depende de substituições numéricas).
Com o resultado acima, e conhecendo o valor de X e de Y, podemos então deduzir o valor de B e por consequência o valor de A, chegando nos catetos do triângulo.
Ok, mas o que isso tem a ver com a conversa sobre os desafios de matemática no início desse post?
Então, ao resolver na lousa me dei conta de que havia uma relação geométrica entre suas partes, que poderia ser explorada visualmente. Embora tenha feito 450 desafios de matemática diferentes, acredito que em nenhum deles fiz uso da relação do perímetro de uma figura. Assim, me coloquei a pensar em como poderia ser este enunciado na forma de desafio de matemática seguindo o modelo com que trabalho, isto é, dando apenas uma medida numérica de área e pedindo para determinar outra área.
Inicialmente tenho que ter meu triângulo retângulo. Posso pedir a medida de sua área, pois isso deve requerer o conhecimento da medida de dois lados. Para apresentar a medida do cateto, posso usar quadradinhos de área 1. Resta agora pensar em como posso representar o perímetro do triângulo sem “entregar” informações sobre outras partes.
Uma alternativa é apresentar apenas a medida da soma dos catetos, pois a hipotenusa já seria uma medida definida numericamente (através da área dos quadradinhos). Assim, se um cateto tem a medida de um quadradão e o outro cateto a medida de outro quadradão, ao colocar ambos os quadrados lado a lado, isto deveria ser equivalente ao lado de um quadradão ainda maior, cujo lado seria equivalente a uma quantidade Inteira de quadradinhos de área 1. O resultado dessa “composição” está abaixo:
Talvez isso não pareça nada de mais, porém temos aqui a seguinte situação:
Um triângulo retângulo de hipotenusa 9 e perímetro igual à 21.
Sim, toda essa enorme representação visual, representa essa frase curta bem acima, que pode ser resolvida aproveitando o resultado genérico que obtemos a alguns parágrafos atrás:
B = [ -X + Y +- sqrt( X² + 2XY – Y²)] / 2
B = [ -9 + 21 +- sqrt( 9² + 2*9*21 – 21²)] / 2
B1 = 6 – 3/sqrt(2) ~ 3.87
B2 = 6 + 3/sqrt(2) ~ 8.12
No caso, B1 e B2 vão equivaler as medidas dos catetos do triângulo.
A área do triângulo fica sendo B1*B2/2 = 63/4 = 15,75.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Um desafio peculiar. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 14. Ed. 1. 2º semestre de 2025. Campinas, 10 de setembro 2025. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6040/. Acesso em: <data-de-hoje>.