O Poço e o Pêndulo
O Poço e o Pêndulo é um dos mais famosos contos de terror de Edgar Allan Poe (1842). Sem querer dar spoilers (embora o final já seja conhecido a 184 anos), o drama envolve um prisioneiro da Inquisição Espanhola (eu não esperava um dia escrever sobre a Inquisição Espanhola… Nobody expects the Spanish Inquisition!). Que encontra-se preso de barriga para cima, e um enorme pêndulo com uma lâmina afiada que começa a descer lentamente, balançando em um arco calculado para cortar seu peito aos poucos (provável que você já tenha visto esta armadilha em outras histórias, mas acho que sua fama se deve principalmente a esse conto).
Agora imagine que você foi contratado por um certo grupo de Inquisidores para projetar a lâmina desse pêndulo. Eles determinaram que a lâmina deve ter a forma de um semi-círculo com 2 metros de raio, e a lâmina deve ser mais grossa de forma proporcional a sua altura.
Você começou o projeto rascunhando essa lâmina como um semi-círculo inferior, com raio de 2 metros, e considerando seu centro na origem do plano cartesiano.
Agora para atender a sua densidade superficial, você precisou pesquisar no setor que produz lâminas conveniado com a Inquisição, quais densidades de metal eles trabalham, e te explicaram que a variação disponível ia de 2 kg/m² a 4 kg/m². Assim, como seus contratantes disseram que “a lâmina deve ser mais grossa de forma proporcional a sua altura”, isso significa que sua densidade aumenta a medida que sua altura diminui. O termo proporcional indica para você que esse aumento é linear, e como estamos considerando o semi-círculo inferior, então teremos altura negativa, logo, uma função linear para a densidade que vai de 2 kg/m² a 4 kg/m² pode ser descrita como: (2 – y) kg/m².
O último passo para encerrar o projeto, é determinar o peso da lâmina, para então pedir fazer o orçamento e ver se a Inquisição concorda com o valor.
Para calcular sua massa, basta integrarmos a função densidade no domínio da lâmina. Assim, seja o domínio de integração dado por: D = {x² + y² ≤ 4, e y ≤ 0}. Sua massa será dada por: ∬_D (2 – y).dA. Se isolarmos o y do domínio, fica: y = – √(4 – x²), pois estamos considerando o semi-círculo inferior. Como o x varia entre -2 e 2, temos: -2 ≤ x ≤ 2, enquanto y está restrito à: – √(4 – x²) ≤ y ≤ 0. Logo nossa integral fica:
∫_(-2)_(2) ∫_(- √(4 – x²))_(0) (2 – y).dy.dx
∫_(-2)_(2) [ (2.y – y²/2) |_(-√(4 – x²))_(0) ] dx
∫_(-2)_(2) (2.√(4 – x²) + (4 – x²)/2).dx
Para resolver a parte da raíz, você precisou fazer uma substituição trigonométrica, de x = 2.sen(θ), enquanto a parte quadrática, deu pra calcular normalmente, chegando que a massa do pêndulo será: (4.π + 16/3) kg, ou aproximadamente 17,9 kg.
Ao apresentar o resultado, os Inquisidores acharam bastante complicado e começaram a suspeitar se você não estava manipulando alguns dados de propósito para enganá-los, e te “incentivaram” a pensar em uma explicação menos complicada. Com essa “motivação” adicional, você logo percebeu que a substituição trigonométrica que você fez para a raíz quadrada, poderia ter sido feita desde o começo.
Se chamarmos a variável x de r.cos(θ) e y de r.sen(θ), isso também deve afetar nossa unidade de área, que deixará de ser pequenos retângulos dx.dy, e passará a ser pequenas fatias de pizza r.dr.dθ, onde r é a medida do raio da circunferência e θ o ângulo de sua abertura. Agora, a mesma região que antes descrevemos com a ajuda de raíz quadrada, dessa vez ficará como: 0 ≤ r ≤ 2, e π ≤ θ ≤ 2.π. Por fim, você ainda tem que ajustar nossa função de densidade para as coordenadas polares, se y = r.sen(θ), então 2 – y ficará 2 – r.sen(θ).
Com isso, chegamos em uma integral dupla, apenas com fatores polinomiais:
∫_(π)_(2.π) ∫_(0)_(2) (2 – sen(θ)).r.dr.dθ
∫_(π)_(2.π) ∫_(0)_(2) (2.r – r².sen(θ)).dr.dθ
Integrar em função de r, é simples, já que nesse contexto ele é um polinômio.
∫_(π)_(2.π) (4 – 8.sen(θ)/3).dθ
Integrar em função de θ aqui também é fácil, já que só temos constantes e uma função seno. O resultado dessa expressão, é novamente (4π + 16/3) kg ou aproximadamente 17,9 kg.
Dessa forma o comportamento curvilíneo da circunferência se ajustou nessas novas coordenadas como um comportamento polinomial limpo. Da outra forma, a raíz quadrada nos perseguia e não deixava escaparmos, tendo até no fim, que fazer uma mudancinha de coordenadas trigonométricas pra um seno, senão aquilo ficaria até agora sem solução.
Você apresentou com felicidade o resultado, mas os Inquisidores por outro lado acharam que você resolveu de forma muito fácil pra ser algo de “boa procedência” e então te deram uma última chance…
Desesperado, você então colocou vários cálculos inúteis e redundantes (que não contribuíam em nada com a resolução, mas eram fáceis de entender). Então, quando eles voltaram, zangados com seu comportamento, viram a nova resolução e ficaram encantados, pois dessa vez entendiam a maior parte do que você havia escrito (embora não tivesse relevância real ao problema), e felizes apontavam para procedimentos de cálculos que conheciam, e conferiam com zelo se o resultado dessas partes era correto. Deixando as partes que não entendiam (que comparativamente eram mínimas) para que você, o especialista conferisse. Então aprovaram o orçamento e você enfim pode respirar aliviado.
O curioso desse problema de integração, é que a função densidade era bastante simples (2 – y), mas se ela fosse um pouquinho mais complicada, querer resolvê-la por coordenadas cartesianas sendo seu domínio uma circunferência, seria extremamente trabalhoso (e insalubre). Uma analogia simples, é que nem jogar SuperSmashBross de Nintendo 64 usando um joystick de volante como controle, os movimentos de luta do seu personagem dependeriam de ações como mudar a marcha, apertar o acelerador, freio e girar o volante… sim, esse foi um exemplo bem específico, mas que ilustra o fato de alguns comandos/domínios e funções se ajustarem melhor a determinadas jogabilidade/sistemas de coordenadas do que outros.