A Espada Broca funciona?
Claymore é definitivamente meu mangá favorito. Não apenas pelas lutas e pela arte, mas também pela história e pelo desenvolvimento dos personagens, que são excelentes. Não darei spoilers desta vez, fiquem tranquilos.
Entre os muitos pontos altos da história está Jean, uma das Claymores que aparece durante a obra. Cada guerreira possui uma espada especialmente grande, e Jean possui uma técnica bastante peculiar: a Espada Broca. Ela torce o braço para acumular energia e, ao liberá-la, faz a espada girar rapidamente em torno de seu próprio eixo, como uma broca.
Para isso, precisamos pensar em como a massa da espada está distribuída. Uma espada como a de Jean não é uma haste perfeitamente uniforme: a lâmina é longa, afilada e possui uma geometria que faz com que diferentes regiões tenham diferentes distribuições de massa em relação ao eixo de rotação.
Uma maneira de representar essa situação é imaginar a lâmina dividida em pequenos elementos de massa. Para um pequeno trecho de comprimento ds, podemos escrever:
dM = λ(s) · ds
onde λ(s) representa a densidade linear de massa naquele ponto.
Cada elemento de massa contribui de maneira diferente para o momento de inércia. Quanto mais afastado do eixo de rotação estiver, maior será sua contribuição:
dI = r² · dM
No entanto, cada pequeno trecho da lâmina possui largura e espessura. Portanto, sua massa não está concentrada a uma única distância do eixo. Para simplificar, vamos aproximar cada seção transversal da lâmina por um retângulo de largura w(s) e espessura e.
Nesse caso, a distância de cada ponto da seção ao eixo de rotação depende de suas posições y e z, de modo que r² = y² + z². Somando as contribuições de todos os pontos dessa seção, obtemos:
dI = [dM / (w(s) · e)] · (e · ∫ [₋w/2 → w/2] y² dy + w(s) · ∫[₋e/2 → e/2] z² dz)
Resolvendo essas integrais, chegamos a:
dI = dM · [w(s)² + e²] / 12
Resultado da distribuição uniforme da massa em uma seção retangular, considerando um eixo que passa pelo centro dela.
Como dM = λ(s) · ds, podemos escrever:
dI = [λ(s) · (w(s)² + e²) / 12] · ds
Para obter o momento de inércia de toda a lâmina, somamos as contribuições de seus pequenos trechos:
I = ∫C [λ(s) · (w(s)² + e²) / 12] · ds
Com isso, podemos determinar como a distribuição de massa e as dimensões da lâmina variam ao longo de seu comprimento.
Depois de estimar o momento de inércia, podemos relacioná-lo à rotação por:
τ = I · α
onde τ é o torque aplicado e α é a aceleração angular.
Agora vamos imaginar que a espada da Jean tenha uma lâmina de aço com 1,2 m de comprimento, 8 mm de espessura e largura diminuindo gradualmente de 12 cm, próximo ao cabo, até 4 cm, na ponta. Consideraremos a densidade do aço como 7.800 kg/m³ e, para simplificar, não incluiremos o cabo nem a guarda da espada.
Como a largura diminui linearmente, podemos representá-la por:
w(s) = 0,12 − 0,0667 · s
com s variando de 0 a 1,2 m.
A densidade linear de massa será:
λ(s) = ρ · e · w(s)
λ(s) = 7.800 · 0,008 · w(s)
Substituindo esses valores na integral, obtemos:
I = 5,2 · ∫₀¹·² [w(s)³ + 0,008² · w(s)] ds
Resolvendo a integral:
I ≈ 0,0040 kg·m²
Nosso modelo também estima uma massa de aproximadamente 6 kg para a lâmina.
Agora, suponha que Jean consiga desfazer as 21 voltas completas de seu braço em apenas 0,15 segundo. Isso corresponde a um deslocamento angular para a espada de:
Δθ = 21 · 2π ≈ 131,9 rad
Supondo que ela comece em repouso e acelere uniformemente, podemos usar:
Δθ = (α · t²) / 2
α = 2 · 131,9 / 0,15²
α ≈ 11.730 rad/s²
Finalmente, usando τ = I · α:
τ = 0,0040 · 11.730
τ ≈ 47 N·m
Ou seja, nesse cenário hipotético, Jean precisaria aplicar um torque de aproximadamente 47 N·m apenas para acelerar a lâmina. Para ter uma ideia do que isso representa, imagine uma régua horizontal de 30 cm, presa por uma extremidade, com um objeto de 16 kg pendurado na outra. O peso desse objeto produziria um torque de aproximadamente 47 N·m sobre o ponto de apoio.
τ = 0,30 · (16 · 9,8)
τ = 0,30 · 156,8
τ ≈ 47 N·m