Paradoxo do Aniversário Alienígena

Sabia que se 23 pessoas forem escolhidas aleatoriamente, a chance de pelo menos duas delas terem a mesma data de aniversário é maior do que 50%?

Esse é um resultado muito famoso na matemática conhecido como Paradoxo do Aniversariante… entretanto sua explicação apesar de usar conceitos simples de probabilidade, não é algo muito intuitiva (já tentei explicar para vários colegas da matemática e acho que até hoje eles não entenderam o porque deste resultado).

A primeira vez que este paradoxo nos é enunciado, imaginamos que para termos uma chance de duas ou mais pessoas fazerem aniversário no mesmo dia maior do que 50%, precisaremos de pelo menos 183 pessoas… entretanto é uma ideia bastante equivocada. Faremos um passo a passo para entendermos o porque com apenas 23 pessoas já é possível chegar nesta probabilidade.

Caso 0: Escolhemos apenas uma pessoa. Chance de duas ou mais pessoas fazerem aniversário na mesma data, 0%, pois só existe uma pessoa.

Caso 1: Somamos uma pessoa ao Caso 0. Agora o calendário já está com um espacinho preenchido (devido ao Caso 0), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 364/365.

Caso 2: Somamos uma pessoa ao Caso 1. Agora o calendário já está com dois espacinhos preenchidos (devido ao Caso 1), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 363/365.

Caso 3: Somamos uma pessoa ao Caso 2. Agora o calendário já está com três espacinhos preenchidos (devido ao Caso 2), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 362/365.

Caso 4: Somamos uma pessoa ao Caso 3. Agora o calendário já está com três espacinhos preenchidos (devido ao Caso 3), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 361/365.

Contudo, observe que o resultado do Caso 2 depende do resultado negativo do Caso 1. Da mesma forma que o resultado do Caso 3 depende do resultado negativo do Caso 2 que depende do resultado negativo do Caso 1. Analogamente, o resultado do Caso 4 depende do resultado negativo do Caso 3, que depende do resultado negativo do Caso 2, que depende do resultado negativo do Caso 1. Então, para que cheguemos no contexto do Caso N, precisamos que os N-1 Casos anteriores tenham obtido um resultado negativo.

Fazendo as contas, temos que:

Caso 1: (364/365) = 99,7%

Caso 2: (364/365).(363/365) = 99,1%

Caso 3: (364/365).(363/365).(362/365) = 98,3%

Caso 4: (364/365).(363/365).(362/365).(361/365) = 97,2%

Caso 22: (364/365).(363/365)…(345/365).(344/365) = 49,2%

Dessa forma, chegamos ao resultado de que com apenas 23 pessoas, a chance de que nenhuma delas faça aniversário na mesma data que uma outra, é de 49,2%. Invertendo a proposição, a chance de que duas ou mais pessoas façam aniversários nas mesmas datas é de 50,8%.

O resultado é legal, porém já existem muitos livros, blogs e outros canais falando sobre este mesmo conceito e mostrando estes cálculos, por isso faremos algo mais divertido. Calcularemos para cada um dos outros 7 planetas do nosso Sistema Solar, quantos extraterrestres precisamos escolher aleatoriamente para a chance de dois deles fazerem aniversário no mesmo dia (relativo aquele planeta) ser maior do que 50%.

MERCÚRIO: No período de translação de Mercúrio ao redor do Sol, o planeta faz um giro e meio ao redor do próprio eixo… ou seja, só existe um dia completo para cada Ano Mercuriano. Dessa forma, todos os mercurianos fazem aniversário no mesmo dia.

VÊNUS: No período de translação de Vênus ao redor do Sol, o planeta não completa uma volta completa ao redor do próprio eixo… ou seja, os dias dos venusianos são maiores do que seus anos. Ou seja, não existem aniversários em Vênus.

MARTE: No período de translação de Marte ao redor do Sol, o planeta faz 669 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 669 dias em cada ano marciano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 31 marcianos aleatoriamente, existe 50,5% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário marciano).

JÚPITER: No período de translação de Júpiter ao redor do Sol, o planeta faz 1.768 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 1.768 dias em cada ano jupiteriano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 50 jupiterianos aleatoriamente, existe 50,3% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário jupiteriano).

SATURNO: No período de translação de Saturno ao redor do Sol, o planeta faz 24.437 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 24.437 dias em cada ano saturniano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 113 saturnianos aleatoriamente, existe 50,3% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário saturniano).

URANO: No período de translação de Urano ao redor do Sol, o planeta faz 42.875 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 42.875 dias em cada ano uraniano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 245 uranianos aleatoriamente, existe 50,2% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário uraniano).

NETUNO: No período de translação de Netuno ao redor do Sol, o planeta faz 89.661 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 89.661 dias em cada ano netuniano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 353 netunianos aleatoriamente, existe 50,0% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário netuniano).


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, M. H. de P. D. da. Paradoxo do Aniversário Alienígena. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 2. Ed. 1. 2º semestre de 2019. Campinas, 28 dez. 2019. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/981/. Acesso em: <data-de-hoje>.

2 thoughts on “Paradoxo do Aniversário Alienígena

  • 22 de agosto de 2021 em 14:09
    Permalink

    A informação de Marte está correta?

    Resposta
    • 23 de agosto de 2021 em 14:01
      Permalink

      Boa tarde Felipe,

      mil perdões cara, acabei de reler aqui e vi o erro (acho q qdo fiz peguei os dados errados pra Marte e nem me atentei), já corrigi o post 🙂 com 31 marcianos a chance de dois deles fazerem aniversário no mesmo dia de Marte é maior que 50% 🙂 final feliz pros marcianos

      Resposta

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