Paradoxo do Aniversário Alienígena

Sabia que, se 23 pessoas forem escolhidas aleatoriamente, a chance de pelo menos duas delas terem a mesma data de aniversário é maior do que 50%?

Esse é um resultado muito famoso na Matemática, conhecido como Paradoxo do Aniversariante. Entretanto, sua explicação, apesar de utilizar conceitos simples de probabilidade, não é tão intuitiva. Já tentei explicar esse resultado para vários colegas da Matemática e acho que até hoje alguns deles não entenderam por que isso acontece.

A primeira vez que esse paradoxo é apresentado, imaginamos que, para termos uma chance maior do que 50% de duas ou mais pessoas fazerem aniversário no mesmo dia, precisaremos de pelo menos 183 pessoas. Entretanto, essa é uma ideia bastante equivocada. Faremos um passo a passo para entender por que, com apenas 23 pessoas, já é possível chegar a essa probabilidade.

Caso 0: Escolhemos apenas uma pessoa. A chance de duas ou mais pessoas fazerem aniversário na mesma data é de 0%, pois só existe uma pessoa.

Caso 1: Somamos uma pessoa ao Caso 0. Agora, temos uma data de aniversário já ocupada. A chance de essa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que a anterior é de 364/365.

Caso 2: Somamos uma pessoa ao Caso 1. Agora, temos duas datas de aniversário já ocupadas, desde que as duas pessoas anteriores tenham aniversários diferentes. A chance de essa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que nenhuma das anteriores é de 363/365.

Caso 3: Somamos uma pessoa ao Caso 2. Agora, temos três datas de aniversário já ocupadas, desde que as três pessoas anteriores tenham aniversários diferentes. A chance de essa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que nenhuma das anteriores é de 362/365.

Caso 4: Somamos uma pessoa ao Caso 3. Agora, temos quatro datas de aniversário já ocupadas, desde que as quatro pessoas anteriores tenham aniversários diferentes. A chance de essa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que nenhuma das anteriores é de 361/365.

Observe que o resultado do Caso 2 depende da ausência de coincidências no Caso 1. Da mesma forma, o resultado do Caso 3 depende da ausência de coincidências no Caso 2, que depende da ausência de coincidências no Caso 1.

Analogamente, o resultado do Caso 4 depende da ausência de coincidências no Caso 3, que depende da ausência de coincidências no Caso 2, que depende da ausência de coincidências no Caso 1.

Então, para que cheguemos ao contexto do Caso N, precisamos que os N casos anteriores tenham obtido resultados sem coincidências.

Fazendo as contas, temos que:

Caso 1: (364/365) = 99,7%

Caso 2: (364/365) · (363/365) = 99,1%

Caso 3: (364/365) · (363/365) · (362/365) = 98,3%

Caso 4: (364/365) · (363/365) · (362/365) · (361/365) = 97,2%

…

Caso 22: (364/365) · (363/365) · … · (345/365) · (344/365) = 49,2%

Dessa forma, chegamos ao resultado de que, com apenas 23 pessoas, a chance de que nenhuma delas faça aniversário na mesma data que outra é de aproximadamente 49,2%. Invertendo a proposição, a chance de que duas ou mais pessoas façam aniversário na mesma data é de aproximadamente 50,8%.

O resultado é interessante, porém já existem muitos livros, blogs e outros canais falando sobre esse mesmo conceito e mostrando esses cálculos. Por isso, faremos algo mais divertido: calcularemos, para cada um dos outros sete planetas do nosso Sistema Solar, quantos extraterrestres precisamos escolher aleatoriamente para que a chance de dois deles fazerem aniversário na mesma data, considerando um calendário planetário, seja maior do que 50%.

Para isso, consideraremos que cada planeta possui um calendário com um número de datas igual ao número de dias de seu ano. Como os períodos de rotação e translação dos planetas são diferentes, precisaremos determinar quantos dias existem em cada ano planetário.

MERCÚRIO: O período de translação de Mercúrio ao redor do Sol é de aproximadamente 88 dias terrestres, enquanto seu período de rotação sideral é de aproximadamente 58,6 dias terrestres. Isso significa que o planeta completa cerca de 1,5 rotações siderais durante uma translação. Entretanto, o ano mercuriano continua sendo uma referência para a definição de aniversários: cada extraterrestre pode comemorar seu aniversário a cada revolução completa do planeta ao redor do Sol.