Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 2
Terminamos a parte 1 falando sobre i^i.
Já vimos que a lógica às vezes pode nos ajudar a encontrar atalhos na matemática, mas o que acontece quando realmente verificamos o resultado de um desses “saltos lógicos”? Por exemplo, do que exatamente estamos falando quando escrevemos i^i? A lógica pode nos ajudar nessa interpretação?
À primeira vista, a intuição parece nos dizer que isso deva ser algo que não pertence aos números Reais, afinal, i é definido como a √(-1), então como i^i poderia ser Real?
Mas e se começassemos reescrevendo-a na sua forma exponencial? Isto é, a^b = e^(ln(a^b)) = e^(b*ln(a))
Substituindo “a” e “b” por i, temos: e^(i*ln(i))
Agora para determinar o valor de ln(i), temos que o logaritmo natural de um número complexo é dado pelo logaritmo natural de seu módulo, mais i vezes seu argumento (seu ângulo). Ou seja: ln(i) = ln|1| + i*π/2 = 0 + i*π/2 = i*π/2.
Aqui optamos por simplificar nosso resultado, assumindo que o argumento de i seja π/2, em vez de π/2 + n*2π, com n ∈ ℤ, que equivale a todos os ângulos em equivalentes à π/2.
Substituindo o valor encontrado na expressão exponencial, temos e^[i*i(π/2)] = e^(–π/2) ≈ e^(-1,570) ≈ 0,207.
Surpreendentemente, um número Real.
Mas porque esse resultado funciona? Será que houve alguma falha no processo? Ou chegamos a um ponto onde a regra não vale e nos leva a um resultado contraditório/absurdo?
O ln(i) é puramente imaginário, mas multiplicando-o por i, ele se transforma em um número Real.
Assim, o número de Euler “e” elevado a um número Real, será um número Real.
Assim, o que começou como uma expressão de aparência estranha no mundo dos números Imaginários acaba nos dando um número Real (e até sem graça).
É um daqueles momentos em que a lógica e a álgebra trabalham juntas para revelar uma harmonia inesperada entre o “Imaginário” e o “Real”.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
CARNIELLI, Walter. Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 2. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 15. Ed. 1. 1º semestre de 2026. Campinas, 8 de Janeiro de 2026. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6193/. Acesso em: <data-de-hoje>.