As caixas de Lagrange

Lagrange é uma jovem cientista que está preparando recipientes para seu experimento de pesquisa. Ela pretende estudar o efeito do uso de uma manta biológica para isolar o interior de uma embalagem. Devido às propriedades biológicas da manta, uma mesma folha pode ser cortada e colada para revestir todo o interior de um recipiente; entretanto, a utilização de folhas diferentes gera uma incompatibilidade que compromete o isolamento. Assim, Lagrange está limitada a utilizar apenas uma folha por caixa e deseja determinar as dimensões da caixa de maior volume possível que pode construir.

Como a universidade é um ambiente de contatos e ninguém precisa ser especialista em todas as áreas, Lagrange, percebendo a dificuldade de sua tarefa, procurou sua amiga Emanuelly para saber se ela poderia ajudá-la a encontrar uma forma de determinar essas medidas. Após entender a natureza do problema, Emanuelly começou a rascunhar, fazer desenhos e testar alguns cálculos — afinal, ninguém resolveria um problema desses de surpresa. Ela achou o problema divertido e, depois de muitas folhas gastas e alguns fios de cabelo arrancados, voltou com uma folha contendo sua resolução, agora mais organizada.

Pra começar, temos três variáveis no problema: comprimento (x), largura (y), altura (h).

Queremos maximizar o volume: f(x, y, h) = x.y.h.

Porém, temos como restrição, cobrir com uma folha de manta todo seu interior, ou seja: g(x, y, h) = x.y + 2.x.h + 2.y.h ≤ A (área da folha de manta). Pensando que estamos procurando o maior volume, podemos assumir que nessa situação, não deve sobrar nada da folha de manta, ou seja: g(x, y, h) = x.y + 2.x.h + 2.y.h = A.

Logo, precisamos maximizar a função f(x, y, h) com a função g(x, y, h) como restrição.

f(x, y, h) terá seu maior crescimento na direção do seu vetor gradiente, ou seja, ∇f(x, y, h) = (y.h, x.h, x.y).

Enquanto a restrição g(x, y, h) terá seu maior crescimento na direção do seu vetor gradiente, ou seja, ∇g(x, y, h) = (y + 2.h, x + 2.h, 2.x + 2.y).

O maior crescimento então deve ocorrer quando ambas as funções estiverem na direção de seu maior crescimento, em outras palavras, quando os vetores de crescimento de ambas forem paralelas. Isso significa que ambos os vetores são iguais, a menos de um número Real diferente de 0 multiplicado por um deles.

∇f(x, y, h) = λ.∇g(x, y, h)
e
g(x, y, h) = A

(y.h, x.h, x.y) = λ.(y + 2.h, x + 2.h, 2.x + 2.y)
e
x.y + 2.x.h + 2.y.h = A

Reescrevendo isso como um sistema de 4 equações e 4 incógnitas, temos:

y.h = λ.(y + 2.h)
x.h = λ.(x + 2.h)
x.y = λ.(2.x + 2.y)
x.y + 2.x.h + 2.y.h = A

Das duas primeiras equações, chegamos que x = y.
Da terceira equação, temos: λ = x/4.
Substituindo esse valor na primeira equação, temos: x = 2.h.

Logo, o volume máximo da caixa ocorre quando a largura é igual ao comprimento, e a largura é o dobro da altura.

Reescrevendo a 4a equação em função de h, temos então a medida da altura da caixa.

(2.h).(2.h) + 2.(2.h).h + 2.(2.h).h = A
4.h² + 4.h² + 4.h² = A
12.h² = A
h² = A/12
h = √(A/12) = √(3.A)/6

Então, x = y = √(3.A)/3

Lagrange então agradeceu a explicação (embora tenha entendido menos de 30% dela), e começou seu projeto, tomando as medidas da folha de manta, para seu trabalho. Mas depois de muito esforço, ficou faltando um pouquinho de manta para isolar totalmente o interior de sua caixinha. Ela não entende, se fez tudo certo, porque ficou faltando? Então logo decide culpar sua amiga, pedindo que ela revise os cálculos, por ter algo errado. Mas Emanuelly pergunta se ela chegou a considerar uma margem de erro na hora de construir a caixa? Lagrange diz que não, que fez nas medidas exatas que ela deu. Mas Emanuelly após um longo suspiro, diz que por mais que tomemos as medidas exatas, na hora de construir algo, há sempre um desvio, pelo próprio instrumento de medida ser limitado a alguma precisão…

Por fim, sua primeira caixinha (fracassada) virou um lindo vazinho que Lagrange deu de presente pra Emanuelly, com um enxerto de jibóia que ela tinha em casa.