No alto daquele cume

Uma vez que a gente conhece derivadas, fica meio bobo achar o ponto de vértice de uma parábola (máximo/mínimo). Derivamos a função uma vez, e a igualamos a 0, pois isso representa o ponto onde a inclinação da curva muda de positividade, ou seja, o cume da função.

Podemos até generalizar essa expressão, para f(x) = a.x² + b.x + c, o vértice dessa função será 2.a.x + b = 0.

Porém estava aqui montando minha lista de exercícios pra usar no Ensino Médio, e pensei… como posso falar disso com meus alunos do Ensino Médio?

Dar uma fórmula pronta seria muito sem graça… tipo, não é legal fazer as pessoas aceitarem as coisas, quando é possível convencê-las de que seja realmente verdade.

Mas também explicar derivadas nessa faixa-etária pode ser uma dor de cabeça desnecessária…

Poderia até fazer um procedimento mais mecânico, encontrando os dois pontos que a função cruza o eixo horizontal, e afirmando que o ponto do domínio que se encontra no meio desses dois pontos, corresponderá ao ponto em que a função alcança seu valor máximo/mínimo.

Mas nem toda função de 2o grau cruza o eixo horizontal…

Um processo simples é escolher uma altura qualquer que a função exista, por exemplo, f(x) = k.

Agora temos:

f(x) = a.x² + b.x + c = k

Reescrevendo isso, temos:

g(x) = a.x² + b.x + (c – k) = 0

Uma função que cruza o eixo horizontal, e que é paralela à função f(x).

Agora vejamos se é possível escrever isso de uma forma genérica.

A função g(x) = a.x² + b.x + (c – k) vai cruzar o eixo horizontal obrigatoriamente em dois pontos.

x1 = [ -b + sqrt(b² – 4.a.(c – k)) ]/2.a
x2 = [ -b – sqrt(b² – 4.a.(c – k)) ]/2.a

Então quando escrevemos (x1 + x2)/2

( [ -b + sqrt(b² – 4.a.(c – k)) ]/2.a + [ -b – sqrt(b² – 4.a.(c – k)) ]/2.a ) / 2

Embora essa pareça ser uma expressão horrível de resolver, observe o que muda de x1 para x2, apenas a parte do + e do -, associado a raíz quadrada. Isso significa que quando somo x1 com x2, essas raízes se anulam, ficando apenas.

(-b/2.a -b/2.a)/2

((-b – b)/2a)/2

(-2b/2a)/2

(-b/a)/2

-b/2a

Ou seja, o ponto x = -b/2a equivale a posição na qual a função encontra seu máximo/mínimo. Vamos apenas dar uma reorganizada nessa expressão.

x = -b/2a

2.a.x = -b

2.a.x + b = 0

Voalá, exatamente o valor da derivada da função de 2o grau que eu tinha, e dessa vez, encontrada a partir de uma média aritmética de dois pontos (hipotéticos) que a função cruza. O legal desse resultado é que usando apenas valores genéricos e recursos bem básicos, chegamos em uma expressão fechada para esse tipo de situação. Sinceramente, achei que ia dar mais trabalho, principalmente porque imaginava que teria de somar duas raízes, expandir a expressão até que ela começasse a se anular, mas foi bem mais simples do que pensei :3

SILVA, Emanuelly de Paula Dias da. No alto daquele cume. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 16. Ed. 1. 2º semestre de 2026. Campinas, 24 de Agosto de 2026. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6473/. Acesso em: <data-de-hoje>.