Uma experiência didática com grafos, parte 2: Aviões e Matrizes

Dando continuidade ao post Uma experiência didática com grafos, parte 1: Pontes de Könisgsberg, contarei aqui mais um pouco de como foram minhas experiências docente trabalhando com grafos no 2o Ano do Ensino Médio. Lembrando que a Teoria dos Grafos mesmo não fazendo parte diretamente do currículo de Matemática no Ensino Médio, ela pode ser identificada/relacionada nos conteúdos curriculares Matrizes e Análise Combinatória, como aparecerão nesse post, espero que gostem.

Essa experiência ocorreu na sala de informática da escola, nela os alunos se organizaram de dois a dois nos computadores e foram orientados a interagir com o software Aviões e Matrizes. O objetivo de usarmos esse recurso, era fazer uma ponte com o assunto grafos já discutido em aulas anteriores, assim, avisamos que na resolução das atividades propostas, eles poderiam pensar os aeroportos como os vértices e os voos (que ligam esses aeroportos) como as arestas.

Tela inicial do software Aviões e Matrizes: https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/software/1221/

Para fixar a relação entre grafos e matrizes, o software propõe que grafos sejam transformados em matrizes e o contrário.

Na transformação de grafos em matrizes os alunos tiveram facilidade, principalmente quando notaram a simetria existente na matriz que representa o grafo, acelerando assim a maneira como faziam a interpretação de um lado da diagonal principal e espelhavam o outro lado.

Já a ação recíproca (transformar matrizes em grafos) não pareceu tão simples de ser compreendida pelos alunos, levando-os a muitas tentativas até que uma das duplas chegasse ao resultado esperado (mostrado abaixo), e então começassem a instruir seus colegas sobre o como precisariam pensar para realizá-la.

As atividades seguintes (que envolviam a multiplicação de matrizes) foram mais simples de se fazer, dado que os alunos já tinham visto o conteúdo, assim embora trabalhosa a realização desses cálculos, não houve muitas dúvidas.

As explicações dadas pelo software para Matriz Adjacência e sua relação com a multiplicação de matrizes e malhas áreas foi um tanto insuficiente para os alunos, exigindo que fosse apresentada uma explicação alternativa e também que acrescentasse alguns exemplos antes das duplas conseguirem realizá-las sozinhas.

Uma observação que julgo interessante mencionar, ocorreu no problema 2 da parte 4, que dizia “Centralizar a malha em poucas cidades pode gerar um tráfego muito grande em alguns aeroportos, o que é de difícil gerenciamento. Isso ocorre, por exemplo, no Brasil, nos aeroportos das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Brasília. Modifique os trajetos de tal modo que cada cidade não tenha mais que 4 voos. Além disso, o número total de voos não pode passar de 11, e é imprescindível que se possa ir de uma cidade a outra com, no máximo, 3 voos.”

Nessa atividade, após as duplas discutirem entre si e realizarem várias tentativas que não tiverem sucesso como solução, uma delas chegou a seguinte conclusão: “já que não podia centralizar os voos em uma única cidade, seria possível então fazer essa centralização em duas cidades distintas e essas que tiveram os voos centralizados, seriam então ligadas entre si” (A imagem abaixo mostra a solução encontrada por essa dupla). Assim, aproveitei desse momento para explicar que no sistema de aviação, as cidades que concentram um grande número de voos são chamadas de hubs (palavra que no inglês significa eixo e que na aviação pode ser entendida como “centro de conexão”).

Na solução encontrada pela dupla, as cidades 6 e 1 seriam hubs.

De forma geral, durante a realização das atividades, conceitos que os alunos já dominavam como multipicação de matrizes e combinação tiveram que ser relembrados para alguns deles, enquanto algumas atividades que eles demonstraram dificuldade na realização era principalmente devido a atividade ser trabalhosa em relação aos cálculos ou de exigirem maior atenção por parte deles na leitura e interpretação do enunciado. Destacando por fim, que além da intervenção docente, o auxílio entre os componentes das duplas e entre as outras duplas, ajudou significativamente para que essas dificuldades fossem superadas.

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O conteúdo dessa experiência na íntegra pode ser encontrado na minha dissertação de mestrado:

https://repositorio.unesp.br/handle/11449/152457

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O recurso completo junto ao guia do professor pode ser encontrado no endereço abaixo:

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1221

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Se gostou, tem alguma dúvida ou crítica, por favor poste nos comentários.

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Imagem de capa extraída do próprio recurso do M³.

Autora: Flavia Fernanda Favaro

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