José Fornari (Tuti) – 03 de abril de 2019

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No artigo anterior vimos como a série harmônica oferece uma base física para a construção do ciclo das quintas, e como este foi utilizado por Pitágoras para a formalização de uma escala musical. O primeiro harmônico, chamado de fundamental, estabelece a tonalidade da escala, onde a fundamental é a sua tônica e o segundo harmônico é a repetição desta tônica, com o dobro da frequência, ou seja, com a relação de frequência de 2 para 1, ou simplesmente grafado 2:1. Percebe-se que a relação de frequência de 2:1 da fundamental de um som tonal representa uma grande similaridade perceptual de tonalidade; tanto que as notas musicais distanciadas por este intervalo tem o mesmo nome. Por exemplo, um tom puro (formado por apenas um harmônico) com frequência de 440Hz (o som de um diapasão), equivale a tonalidade de uma nota Lá; o A4. Já um tom puro de 880Hz também equivale a um Lá, só que imediatamente acima deste; o A5. Em música, por razões que serão explicadas mais adiante, este intervalo é chamado de “oitava”. A similaridade entre notas distançiadas por intervalos de oitavas é tão grande que até mesmo pessoas com ouvido absoluto tem dificuldade de distingui-las (ou seja, um indivíduo com ouvido absoluto percebe imediatamente que uma certa nota tocada é, por exemplo, um Dó, mas não sabe dizer com a mesma certeza qual a oitava desta nota; por exemplo, se é um C4, um C5 ou um C3).

Esta similaridade de oitavas se deve a razões fisiológicas. A ocorrência do segundo harmônico é muito frequente em objetos em estado de vibração regular, gerando sons aproximadamente periódicos, como é o caso de uma corda retesada. Assim, a informação tonal trazida por este modo de vibração é pouco relevante para descrever a natureza daquele objeto ou do seu estado de vibração, o que é, deste modo informação normalmente secundada pela cognição. No caso da visão, a percepção de cores é tridimensional (matiz, luminosidade e saturação) onde a percepção de matiz do olho humano se estende por cerca de uma oitava. Percebemos como luz visível ondas eletromagnéticas com frequência dentro da oitava de 400 e 800 THz (mais precisamente, de 430 a 770 THz). A frequência próxima de 400 THz equivale ao vermelho (na fronteira com o infravermelho) e a frequência próxima de 800 THz ao violeta (na fronteira com o ultravioleta). Nota-se que nos 2 extremos as cores se tornam similares, aproximando-se do púrpura. Se percebêssemos diversas oitavas de matiz (como é o caso da audição em termos de percepção da frequência fundamental) provavelmente veríamos as mesmas cores que já conhecemos se repetindo em diferentes oitavas (como ocorre com as notas musicais separadas por oitavas). A audição humana ouve frequências entre aproximadamente 20 e 20.000 Hz, o que equivale a cerca de 10 oitavas de percepção (20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560, 5120, 10240, 20480) e por isso percebemos as frequências fundamentais como que se repetindo, o que levou à teoria musical notacioná-las com o mesmo nome de nota, mesmo que pertencentes a diferentes oitavas.

Já para o terceiro harmônico, a situação é diferente. Este sim estabelece uma relação tonal perceptualmente distinta da oitava. O terceiro modo de vibração equivale à relação de frequência com a fundamental de 3 para 2, ou simplesmente 3:2. Se prendermos uma corda retesada em um terço de sua extensão, o som que esta irá gerar ao ser estimulada, em qualquer um dos 2 lados (de 1/3 ou 2/3 da extensão total) será o que se chama de intervalo de “quinta” em relação à fundamental (da frequência da corda originalmente solta), sendo que a extensão menor irá gerar uma nota uma oitava acima da outra gerada pela extensão maior (já que a seção menor tem a metade da extensão da seção maior). Esta relação de frequência de 3/2 em relação à fundamental é a base do ciclo de quintas.

Repetindo o mesmo processo, na nova seção de 2/3 do tamanho original da corda retesada, tem-se um novo segmento com (2/3)(2/3) que equivale a (3/2).(3/2) = (1,5)^2 da frequência da nova fundamental. Repetindo este processo 12 vezes, chega-se a uma seção cuja frequência fundamental é próxima do que seria a fundamental original, 7 oitavas acima. Em termos matemáticos, o intervalo de 7 oitavas seria: 2^7=128 enquanto que 12 quintas seria 1,5^12=129,75. Feito num piano, o ciclo das quintas, para se completar, ocupa quase que toda a extensão do seu teclado de 88 notas (mais precisamente, 85 notas). Rebatendo as frequências de cada uma das 12 quintas justas, para uma mesma oitava, de modo que todas notas geradas nela se encaixem, temos o correspondente às 12 relações de quinta (razão de 3/2 ou 1,5) em relação à fundamental original, que compõem a escala pitagórica cromtica (de 12 notas).

(1,5)^1=1,5

(1,5)^2=2,25

(1,5)^3=3,375

(1,5)^4=5,0625

(1,5)^5=7,59375

(1,5)^6=11,390625

(1,5)^7=17,0859375

(1,5)^8=25,62890625

(1,5)^9=38,443359375

(1,5)^10=57,6650390625

(1,5)^11=86,49755859375

(1,5)^12=129,746337890625

Que, ao serem rebatidas para uma mesma oitava, correspondem aos seguintes intervalos musicais:

1,5 / 2^0 = 1,5 (quinta)

2,25 / 2^1 = 1,125 (segunda)

3,375 / 2^1 = 1,6875 (sexta)

5,0625 / 2^2 = 1,265625 (terça)

7,59375 / 2^2 = 1,8984375 (sétima)

11,390625 / 2^3 = 1,423828125 (trítono)

17,0859375 / 2^4 = 1,06787109375 (segunda menor)

25,62890625 / 2^4 = 1,601806640625 (sexta menor)

38,443359375 / 2^5 = 1,20135498046875 (terça menor)

57,6650390625 / 2^5 = 1,802032470703125 (sétima menor)

86,49755859375 / 2^6 = 1,351524353027344 (quarta)

129,746337890625 / 2^6 = 2,027286529541016 (oitava)

 

E que podem ser rearranjados em ordem sequencial da escala cromática da seguinte forma:

1,06787109375 (segunda menor)

1,12500000000 (segunda maior)

1,20135498046875 (terça menor)

1,26562500000 (terça maior)

1,351524353027344 (quarta)

1,423828125 (trítono)

1,5 (quinta justa)

1,601806640625 (sexta menor)

1,687500000 (sexta maior)

1,802032470703125 (sétima menor)

1,898437500 (sétima maior)

2,027286529541016 (oitava)

 

O mesmo pode ser feito com relação ao terceiro e o quarto harmônico, que estabelecem uma relação intervalar de quarta, e que gera um ciclo descendente de quintas já que o intervalo de quarta é o inverso do intervalo de quinta (por exemplo, o intervalo entre um C4 e um G4 é de uma quinta. Já o intervalo de G4 a C5 é de uma quarta). A escala pitagórica ou justa, formada diretamente a partir do ciclo das quintas estabelece uma relação intervalar precisa entre os graus da escala, porém estas relações só se mantém dentro de um mesmo centro tonal, ou seja, para a tonalidade da nota que gerou toda a escala justa. A afinação de escala que usamos atualmente e que mitiga este problema (da transposição para outras tonalidades) é a chamada escala “temperada”. O seu nome se deve ao fato desta ter uma relação uniforme de frequência entre os intervalos de todas as notas. Isto será tratado em maiores detalhes no próximo artigo.

 

Observação:  O sinal “^” aqui utilizado refere-se à operação de potenciação. Exemplo: 2^3 representa “dois elevado a três”.

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Como citar este artigo: 

José Fornari. “Relações intervalares”. Blogs de Ciência da Universidade Estadual de Campinas. ISSN 2526-6187. Data da publicação: 03 de abril de 2019. Link: https://www.blogs.unicamp.br/musicologia/2019/03/28/14/