Será que você sabe ler o mapa-múndi? Eu não sei! (V.3, N.11, 2017)

Todo mundo acredita que sabe ler o mapa-múndi, afinal é algo que nos ensinaram na infância, correto? Mas será que aprendemos mesmo? Lanço um desafio, entre no Google Maps e responda: Qual o maior pais, a Argentina ou a Groenlândia?

Mapa-múndi na projeção de Mercator.
Fonte: Google Maps.

Vou assumir que a maioria respondeu Groenlândia (2.166.086 km²), pois é isto que o mapa da a entender, porém a Argentina (2.780.400 km²) é consideravelmente maior. Isto acontece pois a Terra é esférica de forma que é impossível retratá-la em um plano sem distorção, e este é o tema de hoje!

Outra comparação de tamanhos usando a chamada projeção de Mercator: ao fundo o continente africano, em vermelho a China e em verde a Rússia. Note como a África é bem maior do que a nossa intuição nos conta!
Fonte: https://thetruesize.com

O teorema notável de Gauss

J.C.F. Gauss (1777-1855), matemático alemão

J.C.F. Gauss (1777-1855) foi um importante matemático alemão, entre suas contribuições está o teorema notável (ou Theorema Egregium) que é muito importante para entendermos o porquê de mapas perfeitos não existirem. Mas antes de explicar o teorema, precisamos de um conceito chamado curvatura.

Vamos definir curvatura de forma qualitativa: Quando uma curva é convexa, como por exemplo a superfície de uma esfera, dizemos que a curvatura é positiva; Quando uma curva é concava, como uma sela de cavalo, dizemos que a curvatura é negativa; E no caso de uma reta, a curvatura é zero. Podemos definir a curvatura de um ponto em uma superfície, como o produto das curvaturas mais extremas de curvas da superfície que passam pelo ponto.

O teorema notável de Gauss, diz que não é possível mudar a curvatura dos pontos de uma superfície sem alterar as distâncias entre estes pontos. Aqui mora o problema! Note que a curvatura de uma esfera é sempre positiva, ao passo que uma folha de papel é plana, isto é, a curvatura é zero em todos os pontos. Assim é matematicamente impossível fazer um mapa com distâncias que sigam uma escala fixa.

Fatias de pizza e o teorema de Gauss

Existem diversas aplicações do teorema de Gauss, uma das mais interessantes nos dá uma estratégia para comer fatias de pizza usando apenas uma mão sem fazer sujeira. Considere que a fatia de pizza é inicialmente plana, isto é, todos os pontos da superfície tem curvatura nula. Se seguramos a fatia pela borda, a gravidade produz um torque que fará a pizza virar em nosso sentido.

Jeito não-inteligente de segurar uma pizza. A gravidade produz uma curvatura em uma direção derrubando o recheio da pizza em você. Mas a curvatura dos pontos da superfície continuam iguais a zero.

Mas sabendo do teorema notável, podemos de antemão criar uma curvatura negativa na fatia de pizza, de forma a impor uma curvatura nula na direção longitudinal da fatia de pizza! (Claro que se a fatia quebrar o teorema de Gauss não se aplica.)

Jeito inteligente de segurar uma pizza. Ao produzir uma curvatura na direção perpendicular, a curvatura da direção paralela deve se manter nula para preservar a curvatura dos pontos da superfície.

Projeção de Mercator

Projeção do globo em um cilindro.
Fonte: Wikimedia Commons

Mas se não podemos representar fielmente o globo terrestre em um plano, como desenhamos mapas? Existem diversas estratégias para projetar a superfície de uma esfera em um plano, a mais comum para mapas é a chamada projeção de Mercator.

Esta consiste em envolver a esfera com um cilindro e desenhar a linha do equador de forma a coincidir com a da esfera, depois desenhamos os meridianos como linhas paralelas no cilindro usando o equador como uma referência.

Bússola.
Fonte: Wikimedia Commons

Na projeção de Mercator, os demais pontos são projetados no cilindro de forma a preservar o formato dos continentes e os ângulos entre pontos, por fim desenrolamos o cilindro em um plano e obtemos nosso mapa. Este mapa foi especialmente útil para a navegação, pois medindo um ângulo entre dois pontos no mapa, temos um ângulo real e podemos viajar usando uma bussola.

Porém temos um problema evidente, os meridianos no globo não tem todos os pontos equidistantes, como no caso de linhas paralelas! Assim as distâncias longitudinais do mapa serão bastante deformadas, principalmente nos pontos longe da linha do equador.

Uma forma de ver isto é usando as indicatrizes de Tissot, que são esferas equidistantes de mesmo tamanho desenhadas sobre o globo, que quando projetadas no mapa mostram as distorções de tamanho.

 

Indicatrizes de Tissot no globo terrestre.
Fonte: Stefan Kuhn (WIkimedia Commons)
Projeção de Mercator com indicatrizes de Tissot, todos os círculos representam círculos equidistantes de mesmo tamanho no globo terrestre.
Fonte: Stefan Kuhn (Wikimedia Commons)

Geodésica: A menor distância entre dois pontos do globo

Outro ponto interessante é que apesar de preservar ângulos, a projeção de Mercator não preserva distâncias. Como estamos na era dos aviões, uma pergunta interessante é: qual o menor caminho entre dois pontos do globo? Muitos terão vontade de responder uma reta, mas lembrando que a Terra é uma esfera, uma reta ligando dois pontos passaria por dentro dela.

A curva que representa o menor caminho entre dois pontos em uma superfície curva é chamada de geodésica. No caso de uma esfera, as geodésicas são arcos de um círculo com o mesmo centro que a esfera, veja o desenho:

Caminho de menor distância entre os pontos P e Q. Note que ele é um arco de um círculo com centro igual ao da esfera.
Fonte: Wikimedia Commons

Quando projetamos esta geodésica em um mapa feito com a projeção de Mercator, obtemos um resultado bastante contra intuitivo! Isto explica algumas escalas em voos internacionais que aparentemente são em lugares com um desvio enorme de rota.

Geodésica entre São Paulo e Tokyo (roxo) e a reta que une as duas cidades na projeção de Mercator (vermelho). Fonte: https://academo.org/demos/geodesics/

Projeção de Lambert: Preservando as áreas, mas distorcendo os formatos.

Existem diversas outras maneiras de desenhar mapas, cada uma tempo vantagens e desvantagens específicas. Caso o formato dos continentes não seja importante, mas sim as áreas, podemos usar a projeção de Lambert, que também é uma projeção baseada em um cilindro. Veja como os tamanhos reais dos países são bem diferentes do que estamos acostumados.

Projeção de Lambert com indicatrizes de Tissot, todas as elipses representam círculos equidistantes de mesmo tamanho no globo terrestre.
Fonte: Eric Gaba (Wikimedia Commons)

Conclusões

Mapas-múndi não são perfeitos, é preciso saber quais as características do mapa a ser estudado para saber se podemos extrair as informações necessárias com fidelidade.

Um ponto que poderíamos repensar na educação formal é a utilização de mapas para ensinar o conceito de escala para as crianças, visto que estes mapas não tem uma escala fixa e não podemos comparar distâncias medidas com uma régua em direções diferentes.

Saiba mais:

[1] The true size of – Um site que permite comparar o tamanho de diversos países, permitindo arrastá-los pelo mapa na projeção de Mercator e compensando pela diferença de escala.

[2] Geodesics on the Earth – Site que mostra as geodésicas entre dois pontos em um mapa na projeção de Mercator.

5 thoughts on “Será que você sabe ler o mapa-múndi? Eu não sei! (V.3, N.11, 2017)

  1. Eduardo
    Muito bom seu blog! E o seu texto, então? muito bem escrito, instigante e ao mesmo tempo simples.
    Este assunto das projeções cartográficas é um assunto muito interessante. No instituto de geociências aqui da Unicamp temos várias pessoas que trabalham com isso (eu não, infelizmente).
    A projeção de Mercator, muito famosa, foi uma das primeiras representações cartográficas deste tipo. as representações medievais eram polares. o Mapa mais famosos e detalhado da Idade Média/Renascimento foi o mapa de Fra Mauro (~1450), que usava este tipo de projeção.
    A projeção de Lambert é mais nova, e tenta “suavizar” o traçado de Mercator.
    No entanto, a projeção mais importante do seculo XX foi a projeção de Peters (https://en.wikipedia.org/wiki/Gall%E2%80%93Peters_projection), que apresenta o mundo ao longo do equador mais arrumadinho. Ela foi considerada uma projeção “terceiro-mundista” por revelar melhor o tamanho e as relações dos países menos desenvolvidos.
    De qualquer forma, este tema é muito interessante e você conseguiu uma boa abordagem em seu blog.
    Parabéns!

      1. amigo tenho uma dúvida….o que seria quela linha que vai de cima para baixo no oceano pacífico na ásia até a oceania? e do outro ladoparece uma botinha chutando a linha do Equador pro lado do Brasil?

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