Quem saca por último saca pior?
O tédio é um ótimo elemento para a criatividade, tanto a serviço da matemática quanto dos jogos. No caso, pensemos num jogo bastante simples com um baralho de 5 cartas vermelhas e 1 carta preta. Após embaralhadas, o primeiro jogador tira a carta do topo, se for preta ele perde, se for vermelha nada acontece e é a vez do próximo jogador. O processo segue até que alguém tire uma carta preta.
No caso de dois jogadores, uma pergunta simples que podemos fazer é: qual dos dois jogadores tem uma chance maior de vitória? Uma maneira de resolver esse problema é imaginar que para cada posição na pilha exista o nome de um jogador, portanto, para 6 cartas e 2 jogadores chamados jogador A e jogador B, teríamos a seguinte pilha:
Jogador A;
Jogador B;
Jogador A;
Jogador B;
Jogador A;
Jogador B.
Então, das 6 cartas da pilha, 3 são ocupadas pelo jogador A e 3 são ocupadas pelo jogador B. Dado que a carta da derrota é colocada em uma posição aleatória, temos 50% de chance do jogador A vencer e 50% de chance do jogador B para vencer.
Agora suponha, por exemplo que o baralho tenha 4 cartas vermelhas e uma carta preta, no caso, teríamos:
Jogador A;
Jogador B;
Jogador A;
Jogador B;
Jogador A.
Então, das 5 posições, 3 são nomeadas ao jogador A e 2 são nomeadas ao jogador B. Dado que a carta preta é colocada em uma posição aleatória, temos 60% de chance do jogador A perder e 40% de chance do jogador B perder .
Curiosamente, podemos pensar em uma situação com o mesmo número de jogadores que o de cartas. Assim, com 5 cartas, os jogadores A, B, C, D, E competem. Para cada um temos uma posição designada.
Jogador A;
Jogador B;
Jogador C;
Jogador D;
Jogador E.
Ganhar depende apenas da posição em que a carta preta é colocada inicialmente. Assim, cada jogador tem exatamente 80% de chance de ganhar. Independentemente de ser o primeiro ou o último a jogar. A crença falsa de que o último jogador estará condenado devido a quando sua vez chegar, a carta restante ser a carta preta, na verdade é errônea, porque precisamos considerar que a chance dele de sacar a carta é:
P(A).P(B).P(C).P(D),
no qual P(X) é a chance do jogador X sacar a carta e não perder
Transformando isso em números, temos:
(4/5).(3/4).(2/3).(1/2) = 1/5.
Ou seja, independentemente de onde começamos o “jogo”, as condições de vitória são as mesmas, o que muda é, no máximo, a nossa “impressão de vitória” ao considerar que a carta que sacaremos está mais próxima ou mais distante de nós.
Outra maneira de analisar o problema é imaginar um baralho com 3 cartas vermelhas e 2 cartas pretas uma partida de 5 jogadores. Agora não é mais algo tão trivial. Temos a mesma lista inicial:
Jogador A;
Jogador B;
Jogador C;
Jogador D;
Jogador E.
O caso mais simples é analisar o jogador A, sua chance de perder inicialmente é 2/5, então sua chance de ganhar é 3/5.
Para o jogador B, temos 4 situações.
Sacar com o baralho contendo duas cartas pretas e vencer:
(3/5).(2/4) = 30%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e vencer:
(2/5).(3/4) = 30%.
Sacar com o baralho contendo duas cartas pretas e perder:
(3/5).(2/4) = 30%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder:
(2/5).(1/4) = 10%.
Totalizando 60% da vitória contra 40% da derrota.
Para o jogador C, temos 7 situações:
Sacar com o baralho contendo duas cartas pretas e vencer:
(3/5).(2/4).(1/3) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e vencer, caso 1:
(2/5).(3/4).(2/3) = 20%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e vencer, caso 2:
(3/5).(2/4).(2/3) = 20%.
Sacar com o baralho contendo duas cartas pretas e perder:
(3/5).(2/4).(2/3) = 20%
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 1:
(2/5).(3/4).(1/3) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 2:
(3/5).(2/4).(1/3) = 10%.
Ganhe sacar carta:
(2/5).(1/4) = 10%.
Totalizando 60% da vitória contra 40% da derrota.
Para o jogador D, temos 10 situações:
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e vencer, caso 1:
(2/5).(3/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e vencer, caso 2:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e vencer, caso 3:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 1:
(2/5).(3/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 2:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 3:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo duas cartas pretas e perder:
(3/5).(2/4).(1/3) = 10%
Ganhe sacar carta, caso 1:
(2/5).(1/4) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 2:
(2/5).(3/4).(1/3) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 3:
(3/5).(2/4).(1/3) = 10%.
Totalizando 60% da vitória contra 40% da derrota.
Para o jogador E, temos 10 situações:
Ganhe sacar carta, caso 1:
(2/5).(1/4) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 2:
(2/5).(3/4).(1/3) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 3:
(3/5).(2/4).(1/3) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 4:
(2/5).(3/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 5:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Ganhe sacar carta, caso 6:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 1:
(2/5).(3/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 2:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 3:
(3/5).(2/4).(2/3).(1/2) = 10%.
Sacar com o baralho contendo uma carta preta e perder, caso 4:
(3/5).(2/4).(1/3) = 10%.
Totalizando 60% da vitória contra 40% da derrota.
Você achou que as chances de ganhar e perder seriam diferentes entre a ordem dos jogadores agora que tínhamos duas cartas pretas e três vermelhas?