A Sorte do Homem que Calculava

Organizando os problemas do livro O Homem que Calculava, transcrevia por inteiro os trechos em que resolve dilemas matemáticos dentro do contexto da própria história em que está envolvido, quando me deparei a um detalhe. Dentre todos os problemas e suas soluções apresentadas, a certeza na resolução sempre esteve presente, logo o sucesso se via como inevitável. Contudo, no último dos problemas notei algo estranho, e mentalmente determinei uma situação que servia de contraexemplo para sua certeza. Assim, me espantei ao descobrir que dentre todos os difíceis desafios que Beremiz enfrentou, no último e mais valioso (pois tinha em jogo a sua amada), ele acertou, porém não por certeza, mas por sorte.

A princípio, vamos recordar o problema em que Beremiz (protagonista do livro O Homem que Calculava) precisa descobrir a cor dos olhos das serviçais. Ele tinha por conhecimento de que das 5 serviçais com véus que se colocaram à sua frente, duas tinham olhos pretos e três tinham olhos azuis. As de olhos pretos sempre falavam a verdade, as de olhos azuis sempre mentiam. Beremiz teria o direito a fazer três perguntas para elas e precisaria com isso descobrir a cor dos olhos de todas as 5.

1a pergunta) Beremiz perguntou para a primeira serviçal qual a cor dos seus olhos. Ela respondeu em um idioma desconhecido para o protagonista. As serviçais foram advertidas pelo Sutão que respondessem de agora em diante no idioma comum, mas que para Beremiz ele já havia utilizado sua 1a pergunta e recebido sua respectiva resposta.

2a pergunta) Beremiz pergunta para a segunda serviçal o que a primeira serviçal (a quem ele perguntou anteriormente) disse. A segunda serviçal respondeu: A primeira serviçal disse “Meus olhos são azuis”.

3a pergunta) Beremiz pergunta para a terceira serviçal qual a cor dos olhos das duas serviçais que ele já tinha feito perguntas. A serviçal responde que a primeira tem os olhos pretos e a segunda tem olhos azuis.

Beremiz então afirma já saber a resposta para a cor dos olhos de todas as 5, e explica seu raciocínio. Quando perguntou a cor dos olhos para a primeira, sabia sua resposta independente do idioma em que fosse dito, pois:

A) Se ela tivesse olhos azuis: mentiria dizendo que tem olhos pretos;

B) Se ela tivesse olhos pretos: diria a verdade, ou seja, que tem olhos pretos.

Quando perguntou para a segunda serviçal qual a resposta da primeira, isto lhe deu uma informação consistente sobre a segunda serviçal ter olhos azuis ou pretos.

A) Se ela responde que a primeira serviçal disse ter olhos azuis: então ela estaria mentindo, logo ela mesma tem olhos azuis.

B) Se ela responde que a primeira serviçal disse ter olhos pretos: então ela estaria falando a verdade, logo ela mesma tem olhos pretos.

Com esta informação certa sobre a segunda serviçal, o protagonista questionou a terceira. Da qual sabendo a cor dos olhos da segunda serviçal, poderia deduzir se a terceira mentiria ou falaria a verdade.

A) Se ela disser que a segunda serviçal tem olhos pretos, então ela mente, logo tem olhos azuis. E a resposta que der sobre a primeira serviçal também será mentira.

B) Se ela disser que a segunda serviçal tem olhos azuis, então ela diz a verdade, logo tem olhos pretos. E a resposta que der sobre a primeira serviçal também será verdade.

Desse modo, o protagonista deduz que tanto a primeira quanto a terceira tem olhos pretos, e por isso a segunda, quarta e quinta devam ter olhos azuis. Mas apesar do protagonista ter descoberto a solução com as suas três perguntas, isto não era uma “certeza matemática” como todo o restante do livro aborda e como o mesmo ressalta sempre que resolve a todos os outros desafios. Para mostrar que acertar o problema com estas exatas 3 perguntas realizadas é uma questão de sorte (e não uma pequena sorte, mas uma considerável sorte), precisarei de alguns artifícios da análise combinatória.

Sendo 5 serviçais, temos 5! ou seja, 120 maneiras delas se distribuírem da esquerda para a direita. Porém, dado que para este problema, só estamos considerando suas diferenças a partir da cor dos olhos, temos então 3 de olhos azuis e 2 de olhos pretos, sendo indiferente a permuta entre posições de duas serviçais com as mesmas cores dos olhos. Dessa forma, temos 5!/(3!.2!) = 120/12 = 10 combinações.

1a combinação

Pretos

Pretos

Azuis

Azuis

Azuis

2a combinação

Pretos

Azuis

Pretos

Azuis

Azuis

3a combinação

Pretos

Azuis

Azuis

Pretos

Azuis

4a combinação

Pretos

Azuis

Azuis

Azuis

Pretos

5a combinação

Azuis

Pretos

Azuis

Azuis

Pretos

6a combinação

Azuis

Azuis

Pretos

Azuis

Pretos

7a combinação

Azuis

Azuis

Azuis

Pretos

Pretos

8a combinação

Azuis

Azuis

Pretos

Pretos

Azuis

9a combinação

Azuis

Pretos

Pretos

Azuis

Azuis

10a combinação

Azuis

Pretos

Azuis

Pretos

Azuis

Dessa forma, no caso do livro, Beremiz se encontrava na 2a combinação apresentada, sendo a disposição da tabela (esquerda para direita) a mesma que a das serviçais. Podemos nos impressionar, pois estas mesmas perguntas resolveriam o problema se utilizadas para a 1a combinação por exemplo:

1a resposta → meus olhos são pretos (dita em outro idioma);

2a resposta → ela disse “meus olhos são pretos” (logo a 2a serviçal fala a verdade);

3a resposta → os olhos da 1a e da 2a são azuis (logo a 3a serviçal mente e a 1a fala a verdade).

Com isso, sabemos quais são as duas que falam a verdade e uma que mente, e as duas restantes por exclusão, mentem. Porém, para as combinações 3, 4, 5, 6, 8 e 10. Estas perguntas não bastariam. Pois saberiamos apenas que uma das serviçais fala a verdade e as outras duas mentem. Restando uma incógnita sobre as duas outras, dado que uma das restantes tem olhos pretos e a outra tem olhos azuis.

Assim, das 10 combinações possíveis de serviçais, temos que utilizando as 3 perguntas do livro, em 4 delas, ele acertaria com 100% de certeza. Enquanto que em 6 delas, ele teria 50% de dúvida sobre o veredito correto. Dessa forma, a chance dele acertar com absoluta certeza usando suas 3 perguntas escolhidas era de apenas 40%.

Para corrigir isto, e mudar de 40% para 100%, bastaria uma adaptação na terceira pergunta. Se em vez de perguntar “qual a cor dos olhos das duas serviçais que ele havia interrogado”, ele poderia perguntar “qual a cor dos olhos das duas serviçais que ele havia interrogado e da serviçal à sua direita?”. Assim, ele teria a informação que falta, dado que saberia pela resposta sobre os olhos da 2a serviçal, se a 3a serviçal mente ou fala a verdade, e em ambos os casos, poderia ter a solução do problema com 100% de certeza.

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