A Sorte do Homem que Calculava
Organizando os problemas do livro O Homem que Calculava, transcrevia por inteiro os trechos em que resolve dilemas matemáticos dentro do contexto da própria história em que está envolvido, quando me deparei a um detalhe. Dentre todos os problemas e suas soluções apresentadas, a certeza na resolução sempre esteve presente, logo o sucesso se via como inevitável. Contudo, no último dos problemas notei algo estranho, e mentalmente determinei uma situação que servia de contraexemplo para sua certeza. Assim, me espantei ao descobrir que dentre todos os difíceis desafios que Beremiz enfrentou, no último e mais valioso (pois tinha em jogo a sua amada), ele acertou, porém não por certeza, mas por sorte.
A princípio, vamos recordar o problema em que Beremiz (protagonista do livro O Homem que Calculava) precisa descobrir a cor dos olhos das serviçais. Ele tinha por conhecimento de que das 5 serviçais com véus que se colocaram à sua frente, duas tinham olhos pretos e três tinham olhos azuis. As de olhos pretos sempre falavam a verdade, as de olhos azuis sempre mentiam. Beremiz teria o direito a fazer três perguntas para elas e precisaria com isso descobrir a cor dos olhos de todas as 5.
1a pergunta) Beremiz perguntou para a primeira serviçal qual a cor dos seus olhos. Ela respondeu em um idioma desconhecido para o protagonista. As serviçais foram advertidas pelo Sutão que respondessem de agora em diante no idioma comum, mas que para Beremiz ele já havia utilizado sua 1a pergunta e recebido sua respectiva resposta.
2a pergunta) Beremiz pergunta para a segunda serviçal o que a primeira serviçal (a quem ele perguntou anteriormente) disse. A segunda serviçal respondeu: A primeira serviçal disse “Meus olhos são azuis”.
3a pergunta) Beremiz pergunta para a terceira serviçal qual a cor dos olhos das duas serviçais que ele já tinha feito perguntas. A serviçal responde que a primeira tem os olhos pretos e a segunda tem olhos azuis.
Beremiz então afirma já saber a resposta para a cor dos olhos de todas as 5, e explica seu raciocínio. Quando perguntou a cor dos olhos para a primeira, sabia sua resposta independente do idioma em que fosse dito, pois:
A) Se ela tivesse olhos azuis: mentiria dizendo que tem olhos pretos;
B) Se ela tivesse olhos pretos: diria a verdade, ou seja, que tem olhos pretos.
Quando perguntou para a segunda serviçal qual a resposta da primeira, isto lhe deu uma informação consistente sobre a segunda serviçal ter olhos azuis ou pretos.
A) Se ela responde que a primeira serviçal disse ter olhos azuis: então ela estaria mentindo, logo ela mesma tem olhos azuis.
B) Se ela responde que a primeira serviçal disse ter olhos pretos: então ela estaria falando a verdade, logo ela mesma tem olhos pretos.
Com esta informação certa sobre a segunda serviçal, o protagonista questionou a terceira. Da qual sabendo a cor dos olhos da segunda serviçal, poderia deduzir se a terceira mentiria ou falaria a verdade.
A) Se ela disser que a segunda serviçal tem olhos pretos, então ela mente, logo tem olhos azuis. E a resposta que der sobre a primeira serviçal também será mentira.
B) Se ela disser que a segunda serviçal tem olhos azuis, então ela diz a verdade, logo tem olhos pretos. E a resposta que der sobre a primeira serviçal também será verdade.
Desse modo, o protagonista deduz que tanto a primeira quanto a terceira tem olhos pretos, e por isso a segunda, quarta e quinta devam ter olhos azuis. Mas apesar do protagonista ter descoberto a solução com as suas três perguntas, isto não era uma “certeza matemática” como todo o restante do livro aborda e como o mesmo ressalta sempre que resolve a todos os outros desafios. Para mostrar que acertar o problema com estas exatas 3 perguntas realizadas é uma questão de sorte (e não uma pequena sorte, mas uma considerável sorte), precisarei de alguns artifícios da análise combinatória.
Sendo 5 serviçais, temos 5! ou seja, 120 maneiras delas se distribuírem da esquerda para a direita. Porém, dado que para este problema, só estamos considerando suas diferenças a partir da cor dos olhos, temos então 3 de olhos azuis e 2 de olhos pretos, sendo indiferente a permuta entre posições de duas serviçais com as mesmas cores dos olhos. Dessa forma, temos 5!/(3!.2!) = 120/12 = 10 combinações.
1a combinação | Pretos | Pretos | Azuis | Azuis | Azuis |
2a combinação | Pretos | Azuis | Pretos | Azuis | Azuis |
3a combinação | Pretos | Azuis | Azuis | Pretos | Azuis |
4a combinação | Pretos | Azuis | Azuis | Azuis | Pretos |
5a combinação | Azuis | Pretos | Azuis | Azuis | Pretos |
6a combinação | Azuis | Azuis | Pretos | Azuis | Pretos |
7a combinação | Azuis | Azuis | Azuis | Pretos | Pretos |
8a combinação | Azuis | Azuis | Pretos | Pretos | Azuis |
9a combinação | Azuis | Pretos | Pretos | Azuis | Azuis |
10a combinação | Azuis | Pretos | Azuis | Pretos | Azuis |
Dessa forma, no caso do livro, Beremiz se encontrava na 2a combinação apresentada, sendo a disposição da tabela (esquerda para direita) a mesma que a das serviçais. Podemos nos impressionar, pois estas mesmas perguntas resolveriam o problema se utilizadas para a 1a combinação por exemplo:
1a resposta → meus olhos são pretos (dita em outro idioma);
2a resposta → ela disse “meus olhos são pretos” (logo a 2a serviçal fala a verdade);
3a resposta → os olhos da 1a e da 2a são azuis (logo a 3a serviçal mente e a 1a fala a verdade).
Com isso, sabemos quais são as duas que falam a verdade e uma que mente, e as duas restantes por exclusão, mentem. Porém, para as combinações 3, 4, 5, 6, 8 e 10. Estas perguntas não bastariam. Pois saberiamos apenas que uma das serviçais fala a verdade e as outras duas mentem. Restando uma incógnita sobre as duas outras, dado que uma das restantes tem olhos pretos e a outra tem olhos azuis.
Assim, das 10 combinações possíveis de serviçais, temos que utilizando as 3 perguntas do livro, em 4 delas, ele acertaria com 100% de certeza. Enquanto que em 6 delas, ele teria 50% de dúvida sobre o veredito correto. Dessa forma, a chance dele acertar com absoluta certeza usando suas 3 perguntas escolhidas era de apenas 40%.
Para corrigir isto, e mudar de 40% para 100%, bastaria uma adaptação na terceira pergunta. Se em vez de perguntar “qual a cor dos olhos das duas serviçais que ele havia interrogado”, ele poderia perguntar “qual a cor dos olhos das duas serviçais que ele havia interrogado e da serviçal à sua direita?”. Assim, ele teria a informação que falta, dado que saberia pela resposta sobre os olhos da 2a serviçal, se a 3a serviçal mente ou fala a verdade, e em ambos os casos, poderia ter a solução do problema com 100% de certeza.
Concordo que houve, com as perguntas formuladas por Beremiz, houve a questão sorte. Segui então os mesmos passos do teu raciocinio e conclui também que a terceira pergunta foi "mal formulada". Entrei em devaneios tentando encontrar qual seria o ideal a ser perguntado na terceira vez, fiz uns organogramas simples..... e cheguei a uma solução próxima a tua. Foi então que eu me deparei com um aspecto curioso .... Refleti mais profundamente , refiz contas e raciocínios e fiquei estarrecido com o que conclui. Para mim essa questão de sorte foi proposital. O autor fez isso como um "extra", para levantar, nos leitores mais atentos, esse pequeno detalhe..... Dando a eles a oportunidade de raciocinar individualmente sobre o problema e verificar que a solução apresentada não era a mais correta, e buscar a solução, mas não termina ai, o autor ao fazer isso força o leitor a buscar a resposta..... e o premio maior é descobrir que a solução do problema proposto pode ocorrer não se fazendo 3 perguntas.... mas somente uma única pergunta. Isso mesmo, uma só . Se a pergunta for feita para qualquer uma das escravas e resposta for compreensivel (não seja como a primeira que respondeu em chines) é possivel sim , com as informações que vierem de uma única pergunta, ter a resposta 100 % correta do problema.!!!!
Nossa Fernando, que ponto de vista interessante... seria então este um último prêmio para os leitores desse livro? Nunca tinha pensado nessa lógica. Mas agora fiquei curioso sobre qual pergunta poderia ser feita para ter com uma só resposta a solução... O que me deixa em dúvida sobre essa pergunta única, é que mentir é qualquer afirmação diferente da verdade. Do tipo, se pedir para apontar para todas as moças que falam a mentira incluindo ela mesma se for o caso, se a moça falar a mentira, poderia simplesmente deixar de apontar para todas, e apontar para algumas delas, o que já constituiria uma mentira. Mas diz ai, qual é a pergunta única que resolve este enigma?
A pergunta é "Qual é a cor dos seus olhos e de cada uma das outras quatro escravas?". Se a escrava tiver olhos pretos, ela vai responder que duas escravas tem olhos pretos e três tem olhos azuis (e vai apontar corretamente cada uma). Se a escrava tiver olhos azuis, ela vai responder que três tem olhos pretos, e duas tem olhos azuis. Nesse segundo caso, é so inverter o que ela falou para ter a resposta correta.
Seu raciocínio está correto Hakim, desse jeito também chegamos na solução deste enigma :3, obrigada por compartilhar sua ideia aqui
Amigos, concordo parcialmente com vocês.
De fato, acredito que o autor deixou um prêmio no final do livro para os amantes da matemática e lógica. Também acho que o fato do enigma final ser solucionado contando com a sorte foi proposital, para instigar o leitor a questionar a solução e procurar a própria resposta.
Mas... discordo quanto a solução que vocês apresentaram para o problema.
Creio que a solução para o problema era im-pos-sí-vel. Sim! Impossível!
O Autor queria que nós concluíssemos que na vida nem todos os problemas têm solução, passar a mensagem de que Beremiz não era perfeito e que até o mais brilhante matemático de todos precisa contar com a sorte (provavelmente divina). A consequência para o acerto ou o erro da questão era seríssima para ele, talvez foi o problema mais importante da vida do Beremiz. E assim como nos momentos mais cruciais de nossas vidas, ele precisou contar com a sorte e a graça.
Antes de demonstrar o porque, vou expor minha interpretação.
Durante todo o livro a competência e habilidade de Beremiz foi inquestionável, ele seria incapaz de errar num problema (relativamente) simples como este sem perceber, principalmente em relação a outros problemas muito mais complexos que foram apresentados ao longo da obra. Acredito que Beremiz percebeu a impossibilidade de descobrir a resposta e abraçou o significado de que ele deveria se curvar humildemente à fé e à confiança no "incerto", ou seja, se curvar à religião, pois a matemática e a lógica dependem da certeza, sendo assim, eram incapazes de dar a solução que a fé trouxe.
Para mim, esta é a maior mensagem do livro: a matemática é esplêndida, mas não se compara ao poder da religião.
Como comprovar que era impossível? É só prestar atenção em algumas regras do enigma:
1 - As escravas de olhos pretos sempre dizem a verdade e as de olhos azuis sempre mentem.
2 - Não era permitido, em caso algum, fazer mais de uma pergunta a mesma jovem.
3 - As perguntas deveriam ser de tal natureza que apenas as mulheres questionadas pudessem responder com perfeito conhecimento
Ora, no livro, Beremiz pergunta para a primeira moça a cor dos olhos dela, algo que só a primeira moça poderia dizer com certeza, a partir dessa resposta, as outras escravas poderiam opinar com certeza sobre o que ouviram, e foi o que aconteceu. Ele perguntou para a segunda escrava o que foi que a primeira disse, ela respondeu o que ouviu. E para a terceira, perguntou quais eram as cores dos olhos das duas primeiras, fato que ela poderia ter deduzido logicamente, assim como ele e os próprios leitores, a partir das respostas das duas primeiras.
Então, percebamos que Beremiz sempre seguiu as regras 2 e 3 em suas perguntas, sabendo da condição da regra 1.
Já nas soluções propostas pelo Artigo e por Fernando e Hakim, as escravas teriam de transgredir a regra 2 e 3.
Para descobrir tudo com apenas uma pergunta:
A escrava questionada teria que responder a cor dos olhos de todas as outras, fato que não sabia por todas estarem usando um véu. Quebrando a regra 3. E não é só isso! Vejam só, mesmo que a primeira escrava soubesse a cor dos olhos de todas... qual é o conceito de mentira? Ela não precisaria mentir a cor dos olhos de todas para estar mentindo, meia mentira ainda é mentira! Ela poderia mentir sobre a cor dos olhos de uma, duas, quantas escravas quisesse. E seria impossível, por exemplo, distinguir uma verdade de uma mentira que trocasse a cor dos olhos de duas escravas das cinco, mantendo na resposta duas com olhos pretos e três com olhos azuis!
Para ter os 100% de certeza na terceira pergunta:
Também a regra 3 seria quebrada, uma vez que em nenhum momento nada foi dito sobre a escrava "à sua direita", sendo assim a escrava questionada responderia um fato que não sabia. Diferente da pergunta que Beremiz fez no livro, que era perfeitamente possível para a escrava responder usando a lógica. Isso sem contar que poderia ser considerada uma transgressão da regra 2, visto que a cor dos olhos das duas à esquerda "e" da direita, são duas perguntas formuladas em uma frase.
Assim sendo, nenhuma das soluções propostas aqui estão de acordo com as regras do enigma, que ao meu ver, foi construído para ser impossível!
O livro está recheado de religiosidade e matemática, mas acho que no final ele se posicionou, considerando a religião ainda maior que a matemática. Não diminuindo a beleza da matemática, tanto cultuado nas páginas, mas sim considerando a religião absoluta e perfeita.
Eu ainda estou raciocinando, procurando uma solução, mas não consigo encontrar! Caso vocês consigam, por favor me avisem!
Havia esquecido de um ponto crucial!
Observemos um trecho da proposição do enigma:
"Com o auxílio das 3 respostas, o problema deverá ser solucionado, sendo a solução justificada com todo rigor matemático"
Beremiz contou com a sorte para a disposição em que as escravas estavam, mas uma vez que obteve as três respostas, deu a solução do enigma com perfeição matemática!
Vejam bem, o enigma exigia dele a explicação das cores dos olhos com perfeição matemática apenas após as 3 perguntas, não que ele o soubesse antes delas! Então, as probabilidades não importam, desde que ele tivesse a sorte que teve e pudesse, por fim, explicar suas deduções matematicamente!
Boa noite Bruno,
fico lislonjeada com seus comentários nesta postagem, uma das coisas boas do blog é que o texto nunca está terminado, dado que os comentários o complementam mesmo após anos da sua publicação. Sobre o problema em si, eu lembro de ter interrogado em 2019 o professor Sérgio Lorenzato (uma pessoa que pesquisou esse autor e inclusive teve contato com a família de Júlio Cesar de Melo e Souza) numa palestra lá na Unicamp. Quando mencionei este "erro" ele me disse que o Elon Lages Lima havia identificado isso em um artigo lá nos anos 70... Mas nunca cheguei a ir atrás para saber mais a respeito.
Da forma como li o problema pela primeira vez, realmente não me atentei que uma verdade parcial seria uma mentira, e realmente preciso concordar com você nisso. Na formulação adequada das perguntas, só seria possível tirar alguma informação mediante perguntas nas quais seja válida a regra do terceiro excluído. Assim, do modo como você colocou, estamos pensando que as moças não sabem as identidades umas das outras, exceto pelas informações expressas oralmente naquela ocasião, mas depois de pensar bastante, devo concordar com você, que se as moças não dispõe de informações sobre as outras, é realmente impossível resolver este problema com apenas 3 perguntas. Vou reformular as perguntas de modo mais suscinto para deixar mais claro meu argumento.
Moça 1: Seus olhos são vermelhos?
Se (preto) dirá não
Se (azul) dirá sim.
Moça 2: Seus olhos são vermelhos?
Se (preto) dirá não
Se (azul) dirá sim.
Moça 3: Seus olhos são vermelhos?
Se (preto) dirá não
Se (azul) dirá sim.
Isto é, o máximo de certeza que podemos ter neste problema com 3 perguntas é sobre as 3 respondentes. Deixando ainda a situação em que duas dentre Moça 1, Moça 2, Moça 3, duas delas tenham olhos azuis e uma olhos pretos, e a incerteza sobre as Moças 4 e 5 se mantenha.
Foi divertido pensar nessa resolução impossível, e de fato você tem razão. Gostei inclusive da sua reflexão sobre a relação da fé com a matemática e com a importância desta no último e mais importante desafio, em termos de confrontar a exatidão e a certeza frente ao impossível.
Fique a vontade para comentar, e também para entrar em contato comigo, embora sempre ache engraçado quando mencionam "vocês", pois este blog só tem uma autora :3
Att. Emanuelly