Xadrez não-determinístico

Na matemática dizemos que um fenômeno é determinístico quando para dada entrada no sistema, todos os seus resultados são sempre os mesmos. Por exemplo, no sistema do xadrez clássico, quando decidimos avançar com a torre para tomar o bispo adversário a ação claramente levará a tomada do bispo adversário, não há um fator sorte envolvido entre a decisão de movermos a torre e seu resultado.

Por outro lado, um fenômeno é não-determinístico quando para dada entrada no sistema, os seus resultados variam de forma incerta. Por exemplo ao lançarmos uma moeda, o processo de lançamento para cima pode se repetir, mas o resultado (cara ou coroa) varia de forma não previsível.

Observe que a variação do resultado nem sempre significa que o evento é não-determinístico. Por exemplo: Ao lançarmos três moedas, temos a certeza de que pelo menos dois dos seus resultados serão iguais (suponha que não, chegamos que uma delas deve ser cara, outra coroa, e a terceira não pode ser nem cara nem coroa, logo absurdo). Embora não saibamos dizer qual será o resultado de nenhuma das três moedas, a afirmação em si é determinística, pois para a entrada (lançar três moedas), obtemos sempre o mesmo resultado (pelo menos duas com valores iguais).

Agora que revemos o básico sobre fenômenos determinísticos e não-determinísticos, imagine um xadrez clássico, com uma diferença: quando uma peça ataca outra, há uma chance menor do que 1 (ou 100%) dela mesma ser destruída. Em um cenário mais metafórico, seria como atacar alguém pelas costas, porém a chance desta pessoa perceber o ataque e nos derrotar ser maior do que 0.

Pode parecer complexo, mas faremos um exemplo: Na situação de jogo abaixo, o jogador branco começou avançando um peão, então o jogador preto também avançou um peão. Deixando-o alinhado na diagonal do bispo branco.

O jogador branco avança seu bispo até a posição do peão preto. Mas diferente do xadrez clássico determinístico, agora há um fator não-determinístico nesta ocasião. Seja P a probabilidade de uma peça atacar a outra e destruí-la. De modo simplório, 0<P<1, então a chance da peça atacada derrotar quem a atacou é de 1-P.

Tirando-se a sorte deste fenômeno, se obtivermos P, o bispo branco ocupa o espaço do peão preto que desaparece (figura abaixo à esquerda). Se obtivermos 1-P, o bispo branco desaparece e o peão preto permanece na sua posição original (figura abaixo à direita).

O interessante desta abordagem é o surgimento do fator de risco ao atacar qualquer outra peça. Pois diferente do xadrez determinístico, no qual podemos atacar confiantes de que destruiremos o alvo (ação determinística), nesta versão atacar também traz o risco de sermos destruídos, e deixar que te ataquem traz a chance de destruir seu oponente.

Não é difícil perceber que a dinâmica desse jogo muda muito dependendo do valor de P escolhido. Por exemplo, se P=0,5, logo 1-P=0,5. Isso quer dizer que cada vez que uma peça atacar outra, há 50% de chances dela destruir o oponente e 50% de chances dela ser destruída. Numa situação como esta, temos um jogo no qual não faz diferença entre ser atacado ou atacar. Ambos possuem o mesmo efeito prático.

Mas isso não descarta entretanto a presença de uma estratégia de jogo. Pois sendo o objetivo a derrota do rei adversário, cabem aos jogadores desenvolverem estratégias para lançar suas sortes mais vezes contra o rei adversário do que o outro lançará a sorte contra seu rei.

Analisando outros contextos deste jogo, se P<(1-P), passa ser mais interessante ser atacado do que atacar. Mas novamente temos estratégias que emergem deste contexto, como a limitação de movimentos e a disposição de lançar sua sorte contra o rei adversário mais vezes.

Uma situação na qual P>(1-P) seria parecido com o xadrez determinístico, contudo com o risco maior de perder peças importantes. Por exemplo, se a probabilidade P fosse de 80%, 1-P seria 20%. Podemos calcular a partir de probabilidade condicional, quais seriam as chances de uma peça eliminar de 1 até 8 peças (no caso os 8 peões):

% de destruir

80%

64%

51%

41%

33%

26%

21%

17%

Peões

1

2

3

4

5

6

7

8

Com isto, se considerarmos um sistema de pontuação usual para as peças, chegamos que peões valem 1 ponto e rainhas valem 9 pontos. Nestas condições ao nos arriscarmos destruir os peões de forma leviana com a rainha, temos um risco de aproximadamente 50% de perdê-la ao tentarmos destruir até 3 peões. O que claramente é uma situação de desvantagem (quando eliminar peão é opcional).

Em todos estes contextos, para qualquer P<1, atacar utilizando o rei seria apenas para última opção, pois todo ataque realizado por um rei no xadrez não-determinístico pode terminar com a mesma consequência de um xeque mate.

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