Paradigma do aniversariante no ano Bissexto

O paradigma do aniversariante é um resultado bem interessante de probabilidade condicional. Você encontrará facilmente na internet algum blog explicando que com menos 23 pessoas aleatórias numa sala, a chance de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia do ano é maior que 50%.

Porém nesse enunciado geralmente colocam que estão considerando um ano não-Bissexto. É quase que padrão pensarmos em anos de 365 dias, em vez de 366. Mas em termos desse paradigma, será que isso afeta a quantidade de pessoas necessárias? Bom, sem fazermos nenhum cálculo podemos dizer que o número de pessoas necessárias pode se manter igual ou aumentar, mas nunca diminuir. Pois ao aumentarmos a quantidade de dias, deve ficar um pouco mais improvável que duas pessoas façam aniversário exatamente no mesmo dia do ano.

Enfim, refazendo os cálculos chegamos que com 23 pessoas aleatórias numa sala a chance de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia do ano, considerando 366 dias, é de 50,6%.

Apenas para comparar o resultado, o mesmo cálculo realizado para um ano de 365 chega em uma probabilidade de 50,7%.

Uma diferença bem pequena que parece realmente não afetar o aspecto de surpresa que o resultado traz, mas que pode ser um fio condutor para outras discussões, como por exemplo: quantos dias precisariamos acrescentar no ano para precisarmos de pelo menos 24 pessoas aleatórias?

Você pode obter a resposta de um jeito experimental, recriando esse cálculo numa planilha eletrônica e alterando o número de dias do ano até chegar num valor com a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia do ano, menor que 50%. Mas se você está com preguiça, pode simplesmente acreditar no que vou dizer: a partir de 373 dias no ano, já seria necessário pelo menos 24 pessoas para garantirmos uma chance maior que 50%.

Com 373 dias no ano e 23 pessoas, a chance de duas fazerem aniversário no mesmo dia é de 49,9% e com 24 pessoas a chance é de 53,0%.

Apenas para completar nossa discussão, qual o mínimo de dias de um ano para termos com no mínimo 23 pessoas uma chance maior de 50% de que duas façam aniversário no mesmo dia? (basicamente a questão contrária, vamos reduzir os dias e ver qual o limite) Você pode fazer isso na mesma planilha, mas se estiver com preguiça pode simplesmente acreditar no que vou dizer: com menos de 341 dias no ano, precisaremos de menos de 23 pessoas para garantirmos uma chance maior que 50%.

Com 341 dias no ano e 23 pessoas, a chance de duas fazerem aniversário no mesmo dia é de 53,1% e com 22 pessoas a chance é de 49,9%.

Créditos da imagem de capa à C B por Pixabay

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