Quando o teste da réguinha funcionaria?
Na internet circula um vídeo de um rapaz defendendo a planitude da Terra, partindo do argumento de que não podemos perceber a curvatura ao observar seu horizonte, ‘nem mesmo com o auxílio de uma régua’. O objetivo desse post entretanto não é criticar seu argumento, e sim mostrar para qual dimensão de planeta seu argumento seria suficiente para enxergar no horizonte a curvatura através desse método.
No vídeo, mencionam uma escala ‘monstruosa’, mas pelas informações relatadas no próprio vídeo, ele diz estar em Magé (RJ) e enxergar nos dois extremos do seu campo visual os municípios de Duque de Caxias e São Gonçalo (ambos RJ). Colocando-o num mapa, temos que seu horizonte observável deveria ser algo parecido com a imagem abaixo.
Baseado nessa ilustração, temos um ângulo de visão de 96 graus, e um raio de aproximadamente 14km (arredondando para cima). Com isso, temos que o arco do horizonte desse observador deve ser (também arredondando para cima) de 24 km, enquanto que a linha reta que une os vértices desse arco teria uma distância (arredondada para cima) de 21 km.
Digamos que a régua utilizada seja de 1 m, cubra inteiramente todo os 21 km de seu campo visual linear e o rapaz tenha um alinhamento da régua perfeitamente tangente com o horizonte na posição de 50 cm (condições bem favoráveis para o rapaz).
Para deixarmos mais claro o que faremos, imagine que a Terra seja uma daquelas bolas de plástico com 50 cm de raio, e coloquemos nossa régua tangente ao seu topo. Temos um desnível de uma ponta da régua até sua curvatura de 50 cm.
Desse modo, como estamos usando a escala do campo visual de 21 km, teríamos que a esfera acima teria raio de 10,5 km e desnível nas pontas da régua de 10,5 km. O que faremos agora é aumentar o tamanho de nossa bola até chegarmos no menor desnível perceptível pela pessoa que realiza esse experimento (digamos que 1 mm da régua, o que seria o equivalente à 21 m).
Redesenhando agora um triângulo retângulo com vértice no centro da bola, teríamos uma figura como mostrada abaixo, no qual a hipotenusa e o cateto tem uma diferença de ‘a’ unidades de medida, nesse caso, 1 mm ou 21 m se considerarmos a escala.
Temos que a hipotenusa desse triângulo h, será o raio da Terra, o cateto maior C, será o raio da Terra menos 21 metros e o cateto menor será 105000 metros.
Assim, cos(theta) = (h-21)/h, sen(theta) = 10500/h e tang(theta) = 10500/(h-21). Fazendo os arcos trigonométricos dessas três funções, e igualando-as (pois os ângulos theta e hipotenusa h são fixos), chegamos que h deve ser igual à 2.625.010,5 m. Ou seja, um planeta com raio máximo de 2.625,0105 km.
Chegamos assim, que sua área superficial desse planeta deveria ser de no máximo 86.590.840 km².
Comparativamente, a área do continente asiático é de 44.580.000 km² e a área do continente americano é de 42.550.000 km², ambos os continentes juntos ocupariam 87.130.000 km², ou seja, um pouco mais do que 100% da área de um planeta no qual o teste da régua funcionaria.
Com isso, concluímos que o teste da réguinha de fato conseguiria identificar a curvatura ao observar o horizonte, desde que nosso planeta fosse bem menor do que ele realmente é.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Quando o teste da réguinha funcionaria?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 5. Ed. 1. 1º semestre de 2021. Campinas, 01 abr. 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/2744/. Acesso em: <data-de-hoje>.
Bom dia, gostei da explicação, parabéns! Uma pergunta, quais são as medidas oficiais da terra? E a partir de que distância se detecta a curvatura? Há muitas teorias por aí, mas gostaria de uma informação séria e oficial. Grato.
Bom dia Magnus, é muito fácil fazer esse cálculo 🙂
Por exemplo, a wikipédia diz que a Terra tem raio de 6.371 km.
Agora se pegarmos aquela expressão que usamos para calcular o raio da Terra caso a réguinha detectasse a curvatura de 1mm, como tínhamos:
cos(theta) = (h-21)/h, sen(theta) = 10500/h e tang(theta) = 10500/(h-21), pois o campo visual do rapaz era de 21km e desconhecíamos o raio da Terra (h).
Então, faremos o contrário, fixaremos o raio da Terra e deixaremos como incógnita o campo visual do rapaz, chamado aqui de x:
cos(theta) = (6371000-(x/1000))/6371000, sen(theta) = (x/2)/6371000 e tang(theta) = (x/2)/(6371000-(x/1000)).
Com isso, chegamos que o campo visual do rapaz deveria ser de 50.967 metros.
Ou seja, daquela posição, ele precisaria enxergar um horizonte de quase 51km, e posicionar uma régua sobre esse horizonte para notar que há nos seus extremos um desnível de 1mm.