Polígono regular de π lados?

Essa semana estava conversando com meu amigo Pavel, quando comentei sobre quão legal seriam polígonos regulares com quantidades não-Naturais de lados… então esse post é para você e para todas as pessoas com dificuldade de enxergar esses polígonos esquisitos.

Para começar esse texto precisamos falar de definições… e nada melhor para explicar o poder das definições matemáticas, do que uma piada.

Um filósofo, um físico e um matemático recebem a mesma quantidade de cerca, e pede-se para que eles cerquem a maior área possível.
O filósofo pensa por um momento e decide cercar uma área quadrada.
O físico, percebendo que podia cercar uma área maior, imediatamente coloca sua cerca em forma de círculo. “Quero ver você superar isso!”, diz ele ao matemático, sorrindo.
O matemático, em resposta, pega uma pequena parte de sua cerca, enrola-a em volta de si e exclama: “Eu me defino como estando fora da cerca!”

A moral dessa piada é que na matemática “vale tudo” desde que tenhamos definido dessa maneira. Em aula uma vez me perguntaram “como mostrar” que as operações básicas com matrizes, ocorrem daquela maneira? A resposta matemática é bastante sem graça: “pois são desse jeito que foram definidas” … já a razão dos matemáticos definirem dessa maneira tem interesses bem específicos para os cálculos que eles precisam realizar com essas disposições retangulares de números 🙂

Mas voltando a história dos polígonos regulares de lados não-Naturais, vamos pensar qual seria a ideia para imaginá-los. O ângulo interno de um polígono regular de N lados é uma constante. Ou seja, a relação entre o número de lados do polígono e seu ângulo interno é uma função injetora. Pois se digo que um polígono regular tem ângulo interno de 60 graus, então estou falando de um triângulo regular. Se o polígono regular tem ângulo interno de 90 graus, então estou falando de um quadrado. Se um polígono regular tem ângulo interno de 108 graus, então estou falando de um pentágono regular.

Essa constante se mantêm e inclusive já foi discutida no post Quantos graus tem o ângulo interno de um polígono regular de infinitos lados?. Uma maneira de calcular esse ângulo mostrado no post é a seguinte:

3 lados: [180 – (360/3)] = 60 graus
4 lados: [180 – (360/4)] = 90 graus
5 lados: [180 – (360/5)] = 108 graus
6 lados: [180 – (360/6)] = 120 graus
7 lados: [180 – (360/7)] = 128,5 graus
8 lados: [180 – (360/8)] = 135 graus
9 lados: [180 – (360/9)] = 140 graus
10 lados: [180 – (360/10)] = 144 graus

Nesse cálculo, a expressão geral é [180 – (360/n)] onde n é o número de lados do polígono regular. No caso, x é o ângulo (um número Real positivo), enquanto n é um número Natural maior ou igual a 3.

Apesar de termos uma função injetora, na nossa estrutura atual ela não é sobrejetora, visto que podemos escolher ângulos dos quais não temos um número de lados de um poligono regular que corresponda. Por exemplo, no nosso cenário tradicional não há um polígono regular com ângulo interno 80 graus.

Perceba que o tamanho do domínio (lados de polígonos) é bem menor que o tamanho do contradomínio (ângulos internos). Ou seja, podemos escolher qualquer n que teremos um x válido. Mas o contrário não funcionaria, escolher um número qualquer para x não garante que n será um número Natural.

Desse modo, vamos “definir” simplesmente que n a partir de agora será um número real positivo maior ou igual a 3.

Mas antes de tomarmos qualquer x e determinarmos o número de lados do nosso polígono, observe que nossa definição ainda está sem um sentido geométrico.

Antes de pensarmos na geometria do nosso objeto, vamos ver seu comportamento algébrico. Fixando o comprimento das arestas do polígono, vamos aumentar gradativamente seus ângulos internos. Começaremos transformando um triângulo equilátero em um quadrado.

Ângulo	Lado
60,0	3
62,0	3,05
63,9	3,1
65,7	3,15
67,5	3,2
69,2	3,25
70,9	3,3
72,5	3,35
74,1	3,4
75,7	3,45
77,1	3,5
78,6	3,55
80,0	3,6
81,4	3,65
82,7	3,7
84,0	3,75
85,3	3,8
86,5	3,85
87,7	3,9
88,9	3,95
90,0	4

O cálculo parece funcionar, mas qual seu sentido geométrico? Vamos tentar fazer o mesmo que fizemos com os cálculos acima, agora com um triângulo real:

Se começarmos aumentando um pouco seus ầngulos internos da base:

Imediatamente ganhamos um vértice a mais, porém “perdemos” o polígono em si, além de que não há mais sentido falar em ângulos internos desses dois vértices. Um jeito de resolver essa questão, é criarmos uma aresta curvilínea com comprimento igual ao das outras arestas mas com a inclinação inicial com os vértices igual aos ângulos da base:

Então, a medida que aumentamos nossos ângulos internos, essa aresta curvilínea vai se alinhando:

Pronto, agora temos “definido” nossos polígonos regulares com números reais de lados.

Para encerrar a brincadeira, vamos calcular o ângulo interno de um polígono regular de π lados.

Usando nossa expressão: [180 – (360/n)] substituindo n por π, teremos:

[180 – (360/π)] ~ 65.4 graus.

Construindo um triângulo equilátero e abrindo seus ângulos da base nessa inclinação junto à aresta curvilinéa, teremos algo parecido com isso:

Créditos da imagem de capa à Gordon Johnson por Pixabay

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Polígono regular de π lados?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 6. Ed. 1. 2º semestre de 2021. Campinas, 27 ago. 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3409/. Acesso em: <data-de-hoje>.