Consistência na solução de um desafio de matemática

Desde a metade de 2020, publico todo final de semana 3 desafios matemáticos originais que mantêm uma mesma estrutura. São formas geométricas com apenas um valor informado e as demais relações definidas textualmente ou visualmente a partir de lados congruentes na imagem. Contudo, no desafio de número 221 aconteceu uma coisa digna de discussão. Pois mantendo exatamente este padrão de desenvolvimento, obtive um desafio com solução única, mas quando publiquei, recebi de dois dos participantes mais assíduos, respostas diferentes por métodos coerentes (abaixo o respectivo desafio).

No caso, a região amarela unida a 4 quadradinhos forma um quadrado. Sabendo que a área da região amarela é 1, precisamos determinar a área de uma região vermelha.

A princípio da forma como produzi, o desafio tem solução única, pois a partir do quadrado do meio, criei 5 quadrados azuis para corresponder ao seu lado. Daí criei 5 quadrados verdes para corresponder ao lado do amarelo mais um lado do azul. Por fim, criei 5 quadrados rosas para corresponder ao lado do amarelo mais um lado do verde (abaixo a resolução original).


Seja B o lado azul (blue), G o lado do verde (Green), P o lado do rosa (Pink), R o lado do vermelho (Red) e Y o lado do amarelo (Y), então:

6B = 5G
6B/5 = G

5B + 6B/5 = 5P
B + 6B/25 = P

(B + 6B/25) + 6B = 5R
6B/125 + 7B/5 = R

1 + (6B/125 + 7B/5)² + (B + 6B/25)² + (6B/5)² + B² = 25B²
B = 125/sqrt(295714)
R² = (6(125/sqrt(295714))/125 + 7(125/sqrt(295714))/5)² = 32761/295714 ~ 0.1107


Certo, porém, se observarmos a imagem, podemos ver que 4 lados do Rosa parecem ter a mesma medida de um lado do Amarelo. Então, será que podemos resolver o desafio começando com esta relação? Veremos na seguinte resolução.


Seja B o lado azul (blue), G o lado do verde (Green), P o lado do rosa (Pink), R o lado do vermelho (Red) e Y o lado do amarelo (Y), então:

4P = Y
5P = Y + G
P = G

5G = Y + B
5G = 4G + B
G = B
P = B

Mas então

4P = Y
5P = Y
P = 0

  • A partir daqui já não faz sentido continuarmos, pois todas as outras áreas deverão ser 0 e o problema fica absurdo.

Por outro lado, podemos observar a imagem e dizer que 4 lados do Rosa parecem ter a mesma medida de 5 lados do Azul. Assim, se partirmos dessa relação, será que teremos solução ao problema? Veremos na seguinte resolução.


Seja B o lado azul (blue), G o lado do verde (Green), P o lado do rosa (Pink), R o lado do vermelho (Red) e Y o lado do amarelo (Y), então:

4P = 5B
P = 5B/4

5P = 6B
5(5B/4) = 6B
25B/4 = 6B
25B/4 = 24B/4
25B = 24B
B = 0

  • A partir daqui já não faz sentido continuarmos, pois todas as outras áreas deverão ser 0 e o problema fica absurdo.

Assim, embora o problema pareça admitir outras soluções, ou pelo menos outras formas de ataque. As mesmas quando trabalhadas perdem a consistência. Ou seja, suas relações se tornam insustentáveis ou absurdas.

Com isso, é interessante observarmos que o aspecto visual do problema não diz respeito só a uma forma de ilustrar o desafio. Mas também representa um conjunto de relações que podem escapar da nossa percepção superficial, embora ainda mantenha uma estrutura matemática sustentável. Tal como aquele truque de dividir uma barra de chocolate retangular, de modo a terminar com um pedaço a mais do que começamos inicialmente.

Esse foi um desafio matemático que mostrou de forma sutil como as peças da matemática se encaixam no seu conjunto de relações geométricas. De modo, que outros encaixes, mesmo de aparente coerência, ainda assim levam a contradições.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Consistência na solução de um desafio de matemática. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 7. Ed. 1. 1º semestre de 2022. Campinas, 01 jan. 2022. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3593/. Acesso em: <data-de-hoje>.

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado.

Skip to content