Mostrar, Provar ou Demonstrar, eis a questão

Em livros e notas de aulas de Matemática (principalmente a partir da graduação), vemos muitas vezes esses três verbos: mostrar, provar, demonstrar.

Então podemos nos perguntar, quais seus significados?

Inicialmente vamos observar o significado destas palavras na língua. Para isso realizamos uma busca no site https://www.dicio.com.br/ e chegamos nos seguintes resultados:

Mostrar:

  • Exibir, fazer ver; expor aos olhos
  • Dar provas de; tornar explícito, visível; demonstrar
  • Expressar-se de maneira particular ou íntima; revelar ou revelar-se
  • Assinalar ou indicar através de gestos, sinais ou vestígios; pontar
  • Aparentar

Provar:

  • Demonstrar a verdade, a realidade, a autenticidade de uma coisa com razões, fatos, testemunhos, documentos etc.
  • Dar testemunho de; mostrar; demonstrar; submeter a prova; dar prova de.
  • Conhecer por experiência própria; experimentar; sofrer, padecer
  • Vestir antes de estar pronto para ver se fica bem
  • Comer ou beber para saber se é bom

Demonstrar:

  • Fazer com que (alguma coisa) se torne evidente por meio de provas; fazer com que se torne conhecido; comprovar
  • Expor (sentimentos) através da utilização de sinais exteriores; expressar
  • Exibir características, atributos. qualidades etc.
  • Fazer a demonstração daquilo que se pretende explicar ou do que se está explicando; exemplificar
  • Expressar particularidades da sua própria personalidade; revelar-se

Nos significados obtidos, destacamos aqueles que melhor se assemelham à forma como esses verbos aparecem nos livros e notas de aula de Matemática. Observe que a confusão destes termos reside inclusive no contexto linguístico, como destacamos sublinhado, onde cada verbo utiliza os outros dois verbos em sua explicação.

Contudo, a multiplicidade de significados que geram confusão não parece residir num verbo específico. Podemos nos deparar com um livro ou artigo que diga mostrar, provar ou demonstrar algo na Matemática, e quando vemos, há um esquema visual, um rascunho da ideia, um indicativo sobre a forma de pensamento que nos leva a “acreditar” que aquela propriedade é verdadeira. No contexto da Educação Básica a situação fica um pouco mais complicada, pois várias vezes esses verbos aparecem associados à exemplos.

Toda essa confusão de significados muda quando a palavras Formalismo matemático ou Rigor matemático aparecem:

  • Mostre/Prove/Demonstre com formalismo matemático …
  • Mostre/Prove/Demonstre com rigor matemático …

Isso é um sinal claro que não bastará exemplos, esquemas visuais, rascunhos de ideias ou raciocínios para atender o que se pede.

Chegamos na parte dura da Matemática, na qual precisamos apresentar argumentos que justifiquem para algum domínio, que determina propriedade é válida ou inválida. No caso, quando Mostramos/Provamos/Demonstramos algo com formalismo matemático, usualmente nos referimos a esse texto argumentativo como Prova ou Demonstração. Por exemplo:

Mostre/Prove/Demonstre com formalismo matemático que “todo número ímpar ao quadrado é ímpar”.

  • Prova/Demonstração:
    • Seja x um número ímpar qualquer.
    • Então x pode ser escrito da forma 2.n+1 onde n é um número Inteiro.
    • Logo, x² = (2.n+1)² = 4.n² + 4n + 1.
    • Mas 4.n² + 4n + 1 pode ser escrito como 2.(2.n²+2n)+1.
    • Como (2.n²+2n) é um número Inteiro, então 2.(2.n²+2n)+1 é ímpar.
    • Logo, todo número ímpar ao quadrado é ímpar.

Uma diferença sutil entretanto ocorre quando a afirmação tratada é falsa. No caso é estranho (embora nada proíba) dizermos para Mostrar algo que é falso. Enquanto parece mais natural usarmos os termos Provar/Demonstrar relacionado à algo que é falso.

Prove/Demonstre com formalismo matemático que “todo número primo ao quadrado é ímpar”.

  • Prova/Demonstração:
    • A afirmação é falsa.
    • Tome o número primo 2.
    • 2² = 4, mas 4 não é ímpar.

Na prática fora dos muros do formalismo matemático não há uma restrição quanto ao uso destes termos. Mesmo George Pólya defende que omitamos ou disfarcemos alguns passos mais abstratos e complexos de uma demonstração, para viabilizar sua apresentação à públicos que ainda não detêm o nível de sofisticação matemática necessária para entendê-la por completo (Pólya chama-as de demonstrações informais).

Mas fica como dica, se você está matriculado em alguma disciplina de Matemática a partir da graduação, ou está lendo algo direcionado ao público universitário da Matemática, entenda sempre estes três verbos como sinônimos. Ao surgir questões sobre mostrar/provar/demonstrar, procure reconhecer qual o domínio daquela propriedade e encontre argumentos que garantam sua validade ou invalidade.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, M. H. de P. D. da. Mostrar, Provar ou Demonstrar, eis a questão. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 7. Ed. 1. 1º semestre de 2022. Campinas, 27 jan. 2022. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3643/. Acesso em: <data-de-hoje>.

2 thoughts on “Mostrar, Provar ou Demonstrar, eis a questão

  • 25 de fevereiro de 2022 em 23:12
    Permalink

    Tive uma matéria de Iniciação a matemática, onde foi ensinado as técnicas de demonstração. Dessa forma, a sensação que eu tive é a de entender as etapas das técnicas demonstrativas, porém eu não sabia que propriedade usar para argumentar, acho que minha dificuldade está nisso. Por exemplo, eu fiquei encucada com a conclusão de que todo número impar ao quadrado é impar a partir da justificativa dessa expressão” (2.n²+2n) ser um numero inteiro” .Eu não sei se a minha forma de demonstrar seria genérica, contudo eu aplicaria a definição de número impar e desenvolveria a equação, desse modo:
    seja y um numero impar, tal que y = 2n+1 então y² = (2n+1)²,assim ao desenvolver a equação y²= 4n²+4n+1= 2(1+n²+n)+1 ,daí concluiria que todo número impar elevado ao quadrado seria ímpar por manter a definição 2n+1.

    Resposta
    • 26 de fevereiro de 2022 em 19:27
      Permalink

      Oi Ana, realmente a conclusão de que (2.n²+2n) é um Inteiro, logo y é ímpar, está deixando implícito o passo de que podemos escrever (2.n²+2n) como um k Inteiro (para não confundirmos com o n que já estamos usando), logo, y² é da forma 2.k + 1, daí, y² deve ser ímpar.

      Sua forma de demonstrar está correta (só não use a mesma letra para 2 significados diferentes) 🙂

      Resposta

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