“Aquilo” que os Matemáticos não falam

Dado que provas/demonstrações é um assunto um tanto recorrente neste blog, penso que será legal falar de algo que pouco se fala abertamente nos livros e aulas de Matemática… como se escrever em Matemática. Esse parece ser um assunto um tanto negligenciado do ponto de vista didático, pois a medida que mergulhamos mais fundo em leituras e exercícios, vamos “absorvendo” essas normas sociomatemáticas (socialmente aceitas pela comunidade matemática) até que a usemos sem perceber.

Mas o que me motiva a falar sobre isso, é que quando começamos nessa vida de demonstrações, as vezes ter a ideia para uma demonstração já demanda muito esforço mental, mas ai, com os pensamentos organizados encontramos um empecilho a mais… a escrita. Usamos símbolos no lugar de palavras, palavras no lugar de símbolos, tentamos colocar aquilo que temos em mente no papel de modo que outra pessoa possa ler e entender, mas isso não é nada trivial no começo. Pensar na demonstração já não é algo fácil, porque dificultar ainda mais a vida de quem está começando a trilhar este percurso?

Assim, as dicas que apresento aqui foram encontradas nas páginas 107-109 do livro “Book of Proof” (2a edição) do autor Richard Hammack. Embora elas não venham a ajudar tanto no processo de pensar/elaborar os argumentos que formam a demonstração, podem ajudar que outras pessoas entendam com maior facilidade aquilo que você escreveu. Curioso que quando levei isto para alunos do 1o semestre da Licenciatura em Matemática, eles acharam estranho/diferente/peculiar discutirmos tanto sobre Português numa aula de Matemática.

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A) Comece cada frase com uma palavra não um símbolo matemático.

O motivo é que as sentenças começam com letras capitais, mas os símbolos matemáticos diferenciam maiúsculas de minúsculas. Como a e A podem ter significados totalmente diferentes, colocar esses símbolos no início de uma frase pode levar à ambigüidade.

Aqui estão alguns exemplos de mal uso (marcado com X) e bom uso (marcado com ok).

A é um subconjunto de B (X)
O conjunto A é um subconjunto de B (ok)
x é um inteiro, então 2x + 5 é um inteiro (X)
Como x é um inteiro, 2x + 5 é um inteiro (ok)
x²-x + 2 = 0 tem duas soluções (X)
X²-x + 2 = 0 tem duas soluções (XXXXX)
A equação x²-x + 2 = 0 tem duas soluções (ok)

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B) Termine cada frase com um ponto, mesmo quando a frase terminar com um símbolo ou expressão matemática.

Euler provou que V – A + F = 2 (X)
Euler provou que V – A + F = 2. (ok)

Declarações matemáticas (equações, etc.) são como frases em português que contêm símbolos especiais, portanto, use pontuação normal.

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C) Separe símbolos matemáticos e expressões com palavras.

Não fazer isso pode causar confusão, fazendo com que expressões distintas pareçam se fundir em uma. Compare a clareza dos exemplos a seguir.

Porque x²-1=0, x = 1 ou x = -1. (X)
Como x²-1=0, segue-se que x = 1 ou x = -1. (ok)
Diferente de A∪B, A ∩ B = ∅. (X)
Diferente de A∪B, o conjunto A ∩ B = ∅. (ok)

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D) Evite o uso indevido de símbolos.

Símbolos como =, ≥, ⊆, ∈, etc., não são palavras. Embora seja apropriado usar em expressões matemáticas, eles estão fora de lugar em outros contextos.

Como os dois conjuntos são =, um é um subconjunto do outro. (X)
Como os dois conjuntos são iguais, um é um subconjunto do outro. (ok)
O ∅ é ⊆ de cada conjunto. (X)
O ∅ é um subconjunto de cada conjunto. (ok)
Como a é ímpar e x ímpar → x² ímpar, a² é ímpar. (X)
Como a é ímpar e qualquer número ímpar ao quadrado é ímpar, então a² é ímpar. (ok)

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E) Evite usar símbolos desnecessários.

A matemática já é bastante confusa sem eles. Vamos tentar não turvar a água ainda mais.

Nenhum conjunto X tem cardinalidade negativa. (X)
Nenhum conjunto tem cardinalidade negativa. (ok)

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F) Use a primeira pessoa do plural.

Na escrita matemática, é comum usar as palavras “nós” e “nosso” em vez de “eu”, “você” ou “meu”. É como se o leitor e o escritor estivessem conversando, com o escritor guiando o leitor nos detalhes da prova.

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G) Use a voz ativa.

Esta é apenas uma sugestão, mas a voz ativa torna sua escrita mais viva.

O valor x = 3 é obtido pela divisão de ambos os lados por 5. (X)
Dividindo ambos os lados por 5, obtemos o valor x = 3. (ok)

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H) Explique cada novo símbolo.

Ao escrever uma prova, você deve explicar o significado de cada novo símbolo introduzido. Deixar de fazer isso pode levar a ambigüidade, mal-entendidos e erros. Por exemplo, considere as duas possibilidades a seguir para uma frase em uma prova, onde a e b foram introduzidos em uma linha anterior.

Como a|b, segue-se que b = ac. (X)
Como a|b, segue-se que b = ac para algum inteiro c. (ok)

Se você usar a primeira forma, então um leitor que está seguindo cuidadosamente sua prova pode momentaneamente fazer a varredura para trás, procurando onde o c entrou no texto. Não percebendo a princípio que veio da definição de divisões.

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I) Cuidado com “isso”.

O pronome “isso” pode causar confusão quando não está claro a que se refere. Se houver qualquer possibilidade de confusão, você deve evitar a palavra “isso”. Aqui está um exemplo:

Como X inteiramente contido em Y, e 0 <| X |, vemos que isso não está vazio. (X) É “isso” X ou Y? Qualquer opção faria sentido, mas o que queremos realmente dizer?
Como X inteiramente contido em Y, e 0 <| X |, vemos que Y não está vazio. (ok)

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J) Desde, porque, como, para, assim.

Nas provas, é comum usar essas palavras como conjunções que unem dois enunciados, significando que um enunciado é verdadeiro e, por consequência, o outro verdadeiro.

Todas as afirmações a seguir significam que P é verdadeiro (ou assumido como verdadeiro) e, como consequência, Q também é verdadeiro.

Q desde P
P leva a Q
Q porque P
De P temos Q
Q, como P
Porque P, então Q
Q, para P
P implica em Q
P, então Q
Por P, então Q

Observe que o significado dessas construções é diferente daquele de “Se P, então Q”, pois elas estão afirmando não apenas que P implica Q, mas também que P é verdadeiro. Tenha cuidado ao usá-los. Deve ser o caso de que P e Q sejam afirmações e que Q realmente decorra de P.

Caso x pertença aos Naturais, por isso x pertence aos Inteiro. (X)
Como x pertence aos Naturais, por isso x pertence aos Inteiros. (ok)

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K) Assim, portanto, conseqüentemente.

Esses advérbios precedem uma declaração que segue logicamente de sentenças ou cláusulas anteriores. ASSEGURE-SE de que uma declaração os segue.

Portanto, 2k + 1. (X)
Portanto, a = 2k + 1. (ok)

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L) Clareza é o padrão ouro da escrita matemática.

Se você acredita que quebrar uma regra torna sua escrita mais clara, então quebre a regra.

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De forma geral, a escrita matemática evoluirá com o uso e prática. Uma das melhores maneiras de desenvolver um bom estilo de escrita matemática é ler as provas de outras pessoas e resolver aqueles famosos “exercícios deixados para o leitor”. Lembre-se destas dicas, pois isto ajudará que outras pessoas entendam com maior clareza o que você escreveu (e avaliar o que está certo ou errado).

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. “Aquilo” que os Matemáticos não falam. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 7. Ed. 1. 1º semestre de 2022. Campinas, 30 jan. 2022. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3674/. Acesso em: <data-de-hoje>.