Funções complexas tem gráficos fofos

Yep! Isso é um post de divulgação científica, e sim, as figuras fofinhas e coloridinhas abaixo são gráficos de funções complexas.

Pode parecer estranho, pelo menos da forma como estamos acostumados a ver os gráficos, que estas coisas sejam gráficos.

Lembre-se que um gráfico relaciona cada ponto do domínio de uma função a um ponto do contradomínio desta função.

Assim, uma função de variável Real (chamada de função Real), terá o domínio igual a um subconjunto dos números Reais (geralmente o eixo horizontal) e o contradomínio igual a outro subconjunto dos números Reais (geralmente o eixo vertical). Então cada posição do domínio se relaciona com um uma posição do contradomínio e é representada no plano cartesiano como um ponto. A união destes pontos forma o gráfico da função (até aqui sem novidades).

Agora vamos pensar no gráfico de uma função Complexa (isto é, cuja variável é um número complexo). Um número complexo possui uma parte Real (geralmente denotado no eixo x) e uma parte imaginária (geralmente denotado no eixo y). Ou seja, precisamos de todo o plano (que neste caso se chama em vez de plano cartesiano, plano Argand-Gauss) para representar o domínio da função complexa (ta percebendo onde começaremos a ter problema?)

Então, para cada posição do plano teremos associada a ela outra posição de um outro plano. Mas se os dois planos são independentes e cada um utiliza 2 dimensões, precisamos de 4 dimensões para desenhar este gráfico.

Ok… você pode pensar, que objetos em 3 dimensões sejam possíveis de desenhar com técnicas de perspectiva, mas e 4 dimensões?

Uma forma mais simples de resolver este problema de representação, é escolher algo para servir de terceira e quarta dimensões.

No caso, eu me baseei em um trabalho realizado na UNESP de Bauru, chamado Mostra Matemática, Arte e Tecnologia, que atribuem espectros de cores às terceira e quarta dimensões necessárias para o gráfico da função complexa. Esta mostra reúne 23 quadros produzidos com funções complexas em um software específico que faz esta representação.

Embora aprecie bastante o trabalho da UNESP (já o vi de perto e conheci os responsáveis no período em que estudei lá), acredito que as funções utilizadas sejam sofisticadas demais para quem conhece o projeto pela primeira vez. Já temos uma dificuldade em pensar no plano Argand-Gauss e no comportamento de uma função complexa. As obras dessa mostra foram desenvolvidas para serem realmente incríveis, porém penso que mostrar funções mais simples em sequência seria algo que alguém mais afastado daquele projeto, poderia entender com maior facilidade.

Assim, em minha adaptação mantive o domínio da função fixo entre -48 e 48 (eixo real) e -48i e 48i (eixo imaginário). Estipulei qual o valor máximo e mínimo que a parte real e a parte imaginária da função assumiria naquele intervalo do domínio, e dividi cada intervalo em um espectro de 100 cores para a parte real, e um espectro de 100 níveis de saturação da cor para a parte imaginária. Assim, fiz o gráfico das seguintes 5 funções:

f(z) = z = x + y.i
f(z) = z² = (x² – y²) + 2.x.y.i
f(z) = z³ = (x³ – 3.x.y²) + (3.x² – y³).i
f(z) = z⁴ = (x⁴ – 6x².y² + y⁴) + (4.x³.y – 4.x.y³).i
f(z) = z⁵ = (x⁵ – 10.x³.y² + 5.x.y⁴) + (5.x⁴.y – 10.x².y³ + y⁵).i

Se quiser brincar um pouco, deixo aqui compartilhado o código deste programa feito no Scratch:

https://scratch.mit.edu/projects/806253117/

Imagem de capa adaptada do meme conhecido na internet como “Filho, se você não estudar vai terminar como ele”


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Funções complexas tem gráficos fofos. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 9. Ed. 1. 1º semestre de 2023. Campinas, 18 fev. 2023. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/4870. Acesso em: <data-de-hoje>.

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