O problema Água, Luz e Esgoto: parte 3
Trabalhar em cima desta demonstração, de certa forma, me incentivou a pesquisar e estudar matemática de forma séria e divertida.
Vamos começar!
Primeiramente devemos olhar nosso problema como uma questão de grafos no plano bidimensional:
Cada casa ou companhia equivale a um vértice, ou seja, uma unidade pontual;
Para facilitar a notação, vou redesenhá-los como pontinhos no plano, denotados por B (casa azul), Y (casa amarela), R (casa vermelha), G (companhia de água), C (companhia de luz) e P (companhia de esgoto).
Vamos definir também que toda conexão entre uma casa e uma empresa será chamada de aresta.
Mas não necessariamente estas arestas precisam ser segmentos de retas (basta que seja uma linha que comece e termine em vértices e não se cruze com nenhuma outra linha). Exemplo de duas arestas G-B e G-Y.
Por fim, cada região do plano, totalmente cercada por arestas, será chamada de uma face. Por exemplo, se eu inserir as arestas C-B e C-Y, formamos duas faces cercada pelos vértices G, C, B e Y (sim, são duas faces, a interna em laranja e a externa que representa o restante do plano).
Assim, temos 6 arestas (B, Y, R, G, C e P) e seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee o problema tiver solução, então ele deverá ter 9 arestas:
- G-B, G-Y, G-R
- C-B, C-Y, C-R
- P-B, P-Y, P-R
Então, se sabemos o número de vértices e de arestas, podemos usar a fórmula de Euler para determinar o número de faces (eu falo um pouco sobre a fórmula de Euler no contexto tridimensional neste texto O Garlon faz vários cortes no poliedro, mas a fórmula de Euler é implacável).
Para o plano: (número de faces) + (número de vértices) – (número de arestas) = 2
(número de faces) + 6 – 9 = 2
(número de faces) = 5
Assim, seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee houver solução, teremos 5 faces, 9 arestas e 6 vértices.
Vamos agora analisar como será a relação destas 5 faces com nossas 9 arestas.
Faces formadas por 1 aresta (chamaremos de Faces-1): besteira! Pois teríamos um vértice ligado a ele mesmo com uma mesma aresta. Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas pela aresta G-G, a face interna e a face externa.
Faces formadas por 2 arestas (chamaremos de Faces-2): estranho! Pois estamos fazendo ligando duas vezes uma mesma companhia de uma casa. Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas por duas arestas G-B e B-G, a face interna e a face externa.
Faces formadas por quantidades ímpares de arestas: sem sentido… pois teríamos uma ligação entre duas casas, ou entre duas companhias (o famoso “gato”). Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas por três arestas G-B, B-C, G-C, a face interna e a face externa.
Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas por cinco arestas B-Y, Y-P, P-R, R-C, C-B, a face interna e a face externa.
Com isso, as faces da nossa solução devem ser formadas por um número par de arestas, maior ou igual a 4.
No entanto, existe um teorema matemático válido para grafos no plano, que diz:
2*(número de arestas) = 1*Face-1 + 2*Face-2 + 3*Face-3 + 4*Face-4 + 5*Face-5 + 6*Face-6 + …
onde Face-N representa o número de faces formadas por N arestas.
Agora combinando o resultado da fórmula de Euler, de quando supomos que o problema teria solução, com este novo teorema, temos que:
2*9 = 1*Face-1 + 2*Face-2 + 3*Face-3 + 4*Face-4 + 5*Face-5 + 6*Face-6 + …
Mas como vimos antes, faces com 1 aresta, 2 arestas e qualquer quantidade ímpar de arestas, não faz sentido para nossa solução. Então temos:
18 = 1*0 + 2*0 + 3*0 + 4*Face-4 + 5*0 + 6*Face-6 + 7*0 + 8*Face-8 + …
Simplificando fica:
18 = 4*Face-4 + 6*Face-6 + 8*Face-8 + …
Mas observe que pela fórmula de Euler, eu tenho 5 faces, então:
Face-4 + Face-6 + Face-8 + Face-10 + Face-12 + … = 5
Ou seja,
18 = 4*Face-4 + 6*Face-6 + 8*Face-8 + 10*Face-10 + 12*Face-12 … ≥ 4*5 + 6*0 + 8*0 + 10*0 + 12*0 + …
Concluímos com isso que:
18 ≥ 20
Mas isso é um absurdo!
Logo, como consequência temos que aquela hipótese inicial de que o problema teria solução no plano, é falsa.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. O problema Água, Luz e Esgoto: parte 3. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 10. Ed. 1. 2º semestre de 2023. Campinas, 10 set. 2023. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5394. Acesso em: <data-de-hoje>.