O poder da trigonometria te obriga!

Minha história com os desafios de matemática começou lá em 2020 como eu já contei em Desafios de facebook ganham página oficial da UNICAMP.

Semanalmente eu produzia e postava desafios de matemática no facebook e pinterest, depois de postar eu me sentava para resolver… e isso as vezes isso me dava muito trabalho, tipo 30 min a 2h em cima do desafio pra achar sua solução (mas era divertido).

Contudo, o que poucos sabem, é que houve um desafio que lancei em 2020 na esperança de que resolveria, mas eu tentei por bastante tempo, por várias maneiras, com tudo o que eu sabia, e nada me fazia chegar na sua solução. As pessoas que comentavam sobre os desafios e postavam as respostas, conseguiram resolvê-lo, mas eu não.

Esse desafio era o número 36, e por três anos seguiu sendo meu espinho na carne (abaixo temos seu enunciado ilustrado).

Você consegue ver o que há de tão difícil neste desafio?

A princípio parece que é trivial (com um pouco de esforço). Dá para calcular a medida do lado dos quadrados, e determinar inclusive a área do quadradão (até aqui tudo tranquilo).

O passo seguinte seria calcular o raio do círculo e sua área (até aqui tudo bem também).

Então, qual o próximo passo? É agora que a coisa complica… pois vamos dar uma olhada onde está o centro do círculo. Para facilitar a visualização, vou dividir o quadrado todo em quadradinhos iguais, e marcar como um ponto preto com contorno verde, o centro do círculo.

Já dá para ver onde a coisa começa a complicar?

Ainda que imperceptível, o eixo vertical do círculo está na parte interna do quadrado roxo. Isso significa que para continuarmos, precisamos determinar este ângulo, afinal nosso círculo não vai começar rente ao eixo vertical. Assim, primeiro tenho que calcular este angulozinho:

Depois este outro ângulo:

Então, sabendo a área do círculo todo, e o ângulo deste arco de círculo, consigo determinar a área do arco de círculo.

Por fim, eu somo com este retângulo vermelho:

Então subtraio a área deste retângulo azul, e deste triângulo azul:

Obtemos assim a área da região verde, algo próximo de 0.87.

Divertido, não acha? :3

Achei interessante resolver este desafio depois de tanto tempo fugindo dele, pois percebo como minha maturidade para tratar desafios de geometria mudou.

Na época que lancei este, ele era algo realmente além do meu domínio, eu tinha receio e insegurança para usar arcos-trigonométricos, e também não conseguia “esmigalhar” tão bem esses desafios. Era uma fase em que a maioria dos desafios envolviam apenas formas retangulares, encaixadas e com relações bem simples.

Assim, não foi o desafio que mudou nestes 3 anos, nem as tecnologias que uso para resolvê-lo, e sim minha própria pessoa. Estou mais experiente, mais amadurecida, mais hábil em tratá-los analiticamente. Sei considerar melhor os detalhes que me faziam derrapar, ou que me deixavam insegura. E sim, não foi fácil resolvê-lo, acho que levei umas 2 horas em cima dele, pra quebrar parte por parte, acertar os parênteses e fazer tudo certinho até chegar no resultado. Mas já não é mais um desafio que eu não teria condições de solucionar.

Isso me traz a reflexão, como professora e divulgadora científica, do papel que a experiência e o amadurecimento tem, e como este não é um processo puramente temporal. Não foram três anos que me fizeram mudar, e sim três anos criando e resolvendo desafios. Um pequeno treino semanal, que surtiu um grande efeito (sim, fiquei surpresa ao resolvê-lo, pois ainda duvidava se eu seria capaz). Mas creio que na matemática seja bem assim, as vezes vemos um tópico que parece de outro mundo, sofremos, sofremos e não faz o menor sentido… Então, estudamos outras coisas estranhas, e um dia voltamos para aquele tópico e ele está bem mais claro.

O tópico segue o mesmo, mas seu contato com a matemática mudou, e isso fez com que esse tópico já não parecesse mais tão desconexo ou longe daquilo que você sabe tratar.

Para concluir, não espero que com a explicação superficial que fiz, alguém resolva o desafio 36 (usei muitas contas e muitos arco-trigonométricos), mas que perceba como o simples fato de “enxergar” e “tratar” um desafio, um problema, um exercício (seja como for que você queira chamá-lo), tem muito mais a ver com a experiência e maturidade, do que com o processo de calcular e utilizar propriedades.

Se uma disciplina ou um assunto de matemática te parece muito difícil, talvez seja interessante parare rever assuntos relacionados, amadurecer o entorno daquele tópico, estudar sob outras perspectivas assuntos próximos, antes de retomar o assunto em destaque. Não que haverá neles “a resposta escondida”, mas há neles uma experiência a ser adquirida.

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. O poder da trigonometria te obriga!. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 10. Ed. 1. 2º semestre de 2023. Campinas, 05 out. 2023. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5446. Acesso em: <data-de-hoje>.