Seno, Cosseno e Tangente, de onde vocês vieram?
Terça-feira passada fui toda animada dar minha aula sobre funções trigométricas na disciplina Pré-Cálculo. Quis fazer algo interativo, levei barbante, régua, papel de rascunho e a intenção era que todas construíssem círculos trigonométricos e desenvolvessemos juntas as relações conhecidas como seno, cosseno e tangente. Uma história feliz, mas que não aconteceu tão bem quanto eu esperava…
Usar um barbante para fazer um círculo “perfeito” na lousa é bem mais simples do que no papel. Pois o círculo é relativamente maior, o traço feito é mais grosso (então esconde variações nas medidas), e a lousa é estável na parede. Mas no papel A4 é um caos, pois o círculo pode ter no máximo 10,5 cm de raio, e se não tivermos uma boa gestão multi-tarefas com os dedos, o papel pode começar a girar junto, ou pior, o barbante afrouxar, ou a caneta escorregar… um caos generalizado. Se fazer um círculo já seria difícil, quem dirá usar o barbante para fazer outro círculo com metade do seu raio… sim, um círculo ainda menor, e que sua exatidão é essencial para se estabelecer as tão queridas relações que buscamos.
Bom, foi esse o caos que aconteceu… e isso me trouxe de volta a uma proposta anterior que desenvolvi pensando em uma aula teste que dei para um cursinho (e que não me chamaram :'( depois disso). A ideia em si era imprimir em uma folha A4 um círculo de raio 10 cm, com eixos vertical e horizontal, e uma reta tangente. Na mesma folha teria uma réguinha de 10 cm, um transferidor e um esquadro, que poderia ser recortado para formarmos nossos instrumentos, de modo que pudessemos fazer as investigações necessárias em nosso círculo e o raio 10 cm permitia que os resultados fossem fáceis de calcular, já que para dividir pela hipotenusa era só deslocar a vírgula.
Esse material foi usado em algumas oficinas em eventos, e inclusive no semestre passado usei-o nessa mesma disciplina pra tratar funções trigonométricas. Essa foi uma boa experiência, deu quase tudo bem certo, com exceção do compasso improvisado… isso foi um caos (você percebe que fazer círculos sem o equipamento adequado é caótico).
Enfim, cá estamos, hoje terminei de montar o material que utilizarei amanhã e venho aqui dar um spoiller do que minhas alunas aguardam 🙂
Imprimi em papel de rascunho 45 círculos de raio 10 cm, com eixos horizontal e vertical, uma reta tangente, 45 réguinhas de 15 cm e 45 círculos de raio 5 cm.
Com um percevejo furei o centro do círculo trigonométrico pela parte de trás do papel.
Então encaixei no percevejo, o círculo de raio 5 cm na parte indicada.
Escolhi uma posição qualquer do círculo de raio 10 cm e fiz uma marquinha onde a flecinha indicava.
Também fiz uma marquinha onde o círculo cruzava o eixo horizontal e outra onde cruzava o eixo vertical.
Por fim, seguindo uma linha reta do centro do círculo até a parte marcada, fazemos uma marquinha onde a régua cruza a reta tangente.
Agora usando a régua, medi a distância dos pontos no eixo em relação ao centro do círculo, e da reta tangente em relação ao eixo horizontal (obtive 5,4 cm, 8,6 cm e 6,1 cm).
Então desenhei dois triângulos retângulos ligando os pontos no círculo e nos eixos, e chamei a inclinação do eixo horizontal até o ponto escolhido no círculo de theta (aquela letrinha grega que parece um o cortado na horizontal).
Se você se lembra das suas aulas de trigonometria deve pensar, que podemos calcular o seno e o cosseno de theta fazendo a relação entre seus catetos e a hipotenusa:
seno (theta) = cateto-oposto/hipotenusa
cosseno (theta) = cateto-adjacente/hipotenusa
Mas escolhemos o círculo com raio 10 justamente para facilitar esse momento.
seno (theta) = 5,4/10 = 0,54
cosseno (theta) = 8,6/10 = 0,86
Terminamos? Falta a tangente!
tang (theta) = cateto-oposto/cateto-adjacente
tang (theta) = 5,4/8,6 ~ 0,62
Mas veja só, os valores que obtemos com a régua são basicamente estes mesmos 3 valores!
Isso não é coincidência, pois o seno, cosseno e tangente são valores relacionados a um círculo de raio 1 unidade. Se estamos considerando cm como unidades, então este nosso círculo é 10x maior que o círculo unitário, por isso nossos resultados são também 10x maiores.
Mas não acabamos aqui.
Vamos tentar achar quem é esse theta mal desenhado que fiz. Para isso utilizaremos o que sabemos, ou seja, quem são os resultados, e agora vamos procurar os ângulos que tem estes resultados. Simples, não acha? Então não se assuste quando ouvir o nome que isso recebe: função arco-trigonométrico.
arco-seno (0,54) ~ 32,6º
arco-cosseno (0,86) ~ 30,6º
arco-tangente (0,62) ~ 31,3º
E agora? Chegamos em três resultados diferentes :'( deu errado?
Sim, deu errado! Pois são medidas realizadas com instrumentos reais, logo sempre haverá algum erro envolvido.
Mas observe, que este erro está entre 30,6º e 32,6º. Ou seja, se dissermos que theta vale 31,6º estaremos a mais ou menos 1º de erro para cima ou para baixo. Nada mal para uma precisão realizada utilizando papel e percevejos, não acha?
Então, agora se alguém no ônibus te perguntar de onde vêm o Seno e Cosseno, você já sabe o que dizer? São só nomes “gourmets” para as medidas de comprimento e altura dos pontos de um círculo unitário. Já a tangente, pode ser um pouco mais complicado de explicar, mas com um desenho você deve conseguir :3
Abaixo disponibilizo o pdf com os arquivos para imprimir este material para quem quiser levá-lo também pra sua sala de aula.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Seno, Cosseno e Tangente, de onde vocês vieram?. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 10. Ed. 1. 2º semestre de 2023. Campinas, 18 set. 2023. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5421. Acesso em: <data-de-hoje>.