A Wild Function Appears – parte 2
Antes de falarmos o que é derivada, deixe-me rever o que significa taxa de variação média de uma função linear.
Seja um plano cartesiano com o eixo horizontal referente ao domínio da função com relação a variável x, e o eixo vertical ao contradomínio denotado por f(x). Assim, representamos o conjunto de todos os pontos da função f(x) como uma reta vermelha neste plano.
Assim, quando escolhemos dois pontos do domínio, por exemplo, x1 e x2.
Para cada ponto escolhido, temos seus respectivos valores no contradomínio, que denotaremos por f(x1) e f(x2).
Temos então, que a taxa de variação é dada pela razão entre a diferença dos valores da função e a diferença dos valores do domínio:
Taxa de variação média: [ f(x1) – f(x2) ] / [ x1 – x2 ]
No caso das funções lineares (ou afim), esta razão resultará no coeficiente angular da função. Isto é, o fator que multiplica a variável.
Outra forma de denotar a taxa de variação média é substituir x2 por x1 + d, onde d representa a distância do ponto x1 até o ponto x2.
De modo análogo, substituiremos f(x2) por f(x1 + d).
A taxa de variação continua sendo a razão entre a diferença dos valores da função e a diferença dos valores do domínio, mas agora podemos simplificar um pouco seu denominador, veja que legal.
Taxa de variação média: [ f(x1) – f(x1 + d) ] / [ x1 – x1 – d ] = [ f(x1) – f(x1 + d) ] / [ – d ] = [ f(x1 + d) – f(x1) ] / d
Sendo uma função afim, ela é dada por f(x) = a.x + b, onde a e b pertencem aos Reais, e a é diferente de 0. Logo:
Taxa de variação média: [ a.(x1 + d) + b – a.(x1) – b ] / d = [ a.x1 + a.d – a.x1 ] / d = a.d / d = a.
Para uma função linear (ou afim) a diversão já acabou. Não há mais o que se explorar, seu resultado seguirá sendo o coeficiente angular e ponto final. Mas se tivermos uma função menos linear mas ainda assim comportadinha, como por exemplo, uma parábola.
Para esta função, podemos também tomar x1 e x1 + d, e seus valores de f(x1) e f(x1 + d).
Sendo uma função quadrática, ela é dada por f(x) = a.x² + b.x + c, onde a, b e c pertencem aos Reais, e a é diferente de 0. Logo:
Taxa de variação média: [ a.(x1 + d)² + b.(x1 + d) + c – a.(x1)² – b.(x1) – c ] / d = [ a.x1² + 2.a.x1.d + d² + b.x1 + b.d + c – a.x1² – b.x1 – c ] / d = [ 2.a.x1.d + d² + b.d ] / d = d.[ 2.a.x1 + d + b ] / d = 2.a.x1 + d + b.
Chegamos nessa expressão fofinha, onde a e b são coeficientes conhecidos da função quadrática, mas o d segue aparecendo… diferente do caso linear onde d sumia, aqui ele permanece.
O motivo de bugar a solução é que diferente do caso linear, onde tínhamos uma mesma variação, aqui na parábola esta variação dependerá das posições que estamos considerando (por isso justamente que o d não desapareceu).
Mas uma forma de sumirmos com este d é reduzindo a distância entre os dois pontos. Observe:
Nessa situação a distância d está ficando cada vez menor. Se continuarmos aproximando os dois pontos, não é exagero dizer que d poderia ser substituído por 0, e com isto reescreveríamos nossa taxa de variação média como uma taxa de variação no ponto x1.
Taxa de variação média no ponto x1: 2.a.x1 + d + b = 2.a.x1 + b
Esta é a derivada da função quadrática em relação a x.
Assim, para cada função em relação a x ou y, temos uma derivada associada a variável x ou y. Daí eu recomendo dar uma olhada em como se calcula cada derivada específica, ou ter a disposição uma tabelinha de derivadas para as principais funções. Nela veremos que a função exponencial de x é igual a própria exponencial de x.
Isto significa que a taxa de variação média do ponto em relação a x, resulta em uma inclinação exatamente igual a própria função naquele ponto. Seria como dizer que a inclinação que a função faz é igual a ela mesma.
Para a função exponencial com 2x no expoente, sua inclinação em relação a variável x é equivalente ao dobro dela naquele ponto.
Já para uma função constante, podemos imaginá-la como uma função afim, onde a = 0. Neste caso, seu coeficiente angular seria 0. O legal disso é que uma função que dependa apenas de x, será constante para qualquer variação da variável y, e o contrário. Assim, derivar exponencial de x em relação a y, é igual derivar uma função constante.
Ufa! Acho que isso deve bastar para entender as piadas da parte 1 desta coleção de textos :3
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. A Wild Function Appears – parte 2. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 12. Ed. 1. 2º semestre de 2024. Campinas, 4 de novembro 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5842/. Acesso em: <data-de-hoje>.