Limite, continuidade e mentiras
Já fazem alguns semestres desde que dei pela última vez a disciplina Pré-Cálculo, mas como semestre que vem começarei a dar Cálculo II, estou me recordando de vários conceitos de Limite e continuidade (um dos últimos tópicos de Pré-Cálculo) que serão necessários em breve.
Uma coisa que acho bem legal quando trabalhamos com Limite, é que estamos interessados somente no entorno do objeto. Quase uma relação semiótica de signos associados aquilo com que estamos lidando (https://www.blogs.unicamp.br/zero/5499/). É como se o objeto não importasse, e sim o contorno dele. Justamente por isso inverter o que é Epsilon e Delta pode estragar tudo na definição, já que tiramos a restrição de espaço do domínio e a colocamos no contradomínio, deixando o domínio ilimitado.
Contudo se estamos falando de contornos, é certo que um objeto sólido terá exatamente o seu contorno. Por exemplo, uma maçã tem o contorno de uma maçã, um pão tem o contorno de um pão… Assim, uma função matemática continua em um ponto terá ao redor dele, o contorno que precisamos para dizer que seu limite existe. Essa inclusive é uma propriedade muito conhecida, que diz, se há continuidade, existe limite (até porque, a continuidade requer a existência do limite).
Até aqui tudo certo… Mostrar que limite existe pela definição é um inferninho, mas se a função for continua naquele ponto, tá tudo resolvido. Mas a partir dessa propriedade , podemos facilitar a ação de mostrar que um limite existe, mesmo quando a função não é continua… Isso vai envolver uma mentira (ou o termo menos informal e utilizado na matemática, uma suposição).
Se conseguirmos escrever nossa função descontínua no ponto X de modo que tenhamos uma função continua no ponto X, podemos dizer que ambas são iguais?
Claro que não!
Um exemplo trivial é a função f(X) = X/X. Essa função não é igual a função g(X) = 1, pelo simples motivo de que g(X) existe para todo X pertencente aos Reais, mas f(X) não está definida para X = 0. O mais correto seria dizer que para X diferente de 0, f(X) = g(X). Ou seja, se tirarmos esse ponto problemático de f(X), ambas as funções são iguais. Voltando para o assunto dos contornos, uma maçã tem o contorno de uma maçã, mas nem tudo que tem o contorno de uma maçã precisa ser uma maçã. Por exemplo, posso fazer um objeto de massa de bolo com o contorno de uma maçã, e a depender da finalidade, pode ser até melhor do que uma maçã de verdade (lembrando da febre que houve em 2020, de quando tudo poderia se bolo).
Esse mesmo raciocínio se aplica para Limites de funções. Como o que me interessa não é seu conteúdo, e sim seu contorno, eu posso substituir o meu objeto por outro que tenha aquele mesmo contorno, mas com propriedades que sejam mais fáceis de serem manipuladas. Por exemplo, minha função f(X) = X/X, pode ser substituída por outra que tenha o mesmo contorno ao redor do ponto X = 0, como a função g(X) = 1. Assim, já que a função g(X) = 1 é contínua no ponto X = 0, consequentemente seu limite ao redor desse ponto existe e vale 1, como no entorno desse ponto, ambas as funções são iguais, então o limite de f(X) no ponto X = 0, não só existe, como também valerá 1.
De forma geral, se tratando de Limites, a existência do ponto não é relevante, somente o que ocorre no seu entorno. Assim, tanto faz se o objeto é aquele que temos, ou um outro com o mesmo contorno do que temos. O comportamento dessas funções nas proximidades do ponto será a mesma, e isso é o suficiente para respondermos se o limite existe e qual seu valor… Essa inclusive parece a discussão do Shinji no final de Neon Genesis Evangelion, sobre sua existência ser definida pela percepção dos outros acerca dela, já que ninguém além de você mesmo tem acesso ao seu próprio interior.
Em Neon Genesis Evangelion, falam sobre o dilema do Porco-Espinho, que não podem se aproximar suficientemente de outro Porco-Espinho sem se ferirem. No contexto, isso significa que os seres humanos tem camadas exteriores, que os separam uns dos outros, e o afeto humano envolve aproximar do interior, mas sem exceder uma zona segura, que se for penetrada, pode levar a destruição do indivíduo (tanto na forma literal, quanto metafórica). Enfim, achei que isso casa bem com a discussão desse post, pois podemos pensar na ideia de que há sempre um limite em nosso entorno, e isso é tudo o que pode ser percebido pelos outros, mesmo que aquele ponto não seja nosso, podemos ser interpretados como se aquele ponto estivesse ali. Fica a recomendação para quem gostou dessa conversa, de assistir a esse anime (ou para quem quer fugir da depressão, por algum motivo esse anime consegue me tirar da bad).
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Emanuelly de Paula Dias da. Limite, continuidade e mentiras. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 15. Ed. 1. 1º semestre de 2026. Campinas, 4 de Janeiro de 2025. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6173/. Acesso em: <data-de-hoje>.