Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 3
Na parte 1 dessa série de textos, discutimos sobre uma demonstração que utilizava o princípio do Terceiro Excluído. Porém, embora ele nos apareça como usual e óbvio nos livros-textos de Matemática (Cálculo, Geometria Analítica, Álgebra Linear…), nem todos se sentem confortáveis com esse raciocínio.
Por exemplo, aqueles que estudam a lógica intuicionista — como o grande matemático Errett Bishop — argumentariam que simplesmente afirmar “ou é racional ou não é” não fornece nenhuma informação (a dupla negação não necessariamente é uma afirmação, como já falamos no post A falha do Duplo Negativo-Inator). Em sua visão, uma prova deve fornecer um exemplo explícito, não apenas uma garantia lógica de existência.
Porém este não é um incomodo isolado, principalmente quando começamos a estudar lógicas diferentes da Clássica. Nem todos se sentem confortáveis com a linha de raciocínio anterior, na qual a lógica é usada para resolver questões matemáticas. Os seguidores da lógica intuicionista — como os grandes lógicos e matemáticos Luitzen E. J. Brouwer (1881–1966), Arend Heyting (1898–1980), Andrei Kolmogorov (1903–1987) e Errett Bishop (1928–1983) — argumentariam que simplesmente afirmar “ou é racional ou não é” não fornece nenhuma informação real.
Em sua visão, uma prova deve oferecer uma construção ou exemplo explícito, não apenas uma garantia lógica de existência. Para esclarecer essa questão, vamos relembrar como a lógica construtiva interpreta a negação.
Para tornar isso mais explícito: se alguém assume A e deriva uma contradição, então pode concluir ¬A.
Esta é uma forma de prova por contradição que corresponde à regra intuitivamente válida da introdução da negação.
Nessa situação, a suposição é positiva e a conclusão ¬A é construtivamente aceitável.
No entanto, se alguém parte de uma suposição negativa, como ¬A, e deriva uma contradição, a conclusão é ¬¬A.
Para passar de ¬¬A para A, é necessário o princípio da eliminação da dupla negação, válido na lógica clássica, mas não na lógica intuicionista.
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
CARNIELLI, Walter. Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 3. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 15. Ed. 1. 1º semestre de 2026. Campinas, 11 de Janeiro de 2026. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6202/. Acesso em: <data-de-hoje>.