Uma capivara estressada movida a jujuba

Uns anos atrás escrevi um post chamado “uma capivara movida a jujuba” (https://www.blogs.unicamp.br/zero/5743/) que apresentava o seguinte enunciado.

Uma capivara de tamanho usual, consegue transportar 10 kg de jujubas em um trajeto de até 10 km, mas come 1 kg de jujuba a cada 1 km percorrido. Temos uma fábrica de jujubas e precisamos entregar a um cliente localizado a 10 km de distância, 1.000 kg de jujubas, utilizando capivaras para seu transporte. Apenas as capivaras podem transportar as jujubas, não é permitido impedir a capivara de comer enquanto caminha. Podemos criar postos de coleta no trajeto, para carregar e descarregar as jujubas nas capivaras.

Esse problema em particular tem essa estrutura para que seja impossível uma capivara sair e chegar no destino com alguma jujuba (sem paradas em postos de coleta). Porém a partir de um posto de coleta, o problema começa a ter solução, requerendo 4 vezes mais jujuba do que o cliente precisa para efetuar essa entrega. Contudo, se aumentarmos os postos no caminho, essa quantidade a mais de jujubas vai diminuindo. Só que o mais legal desse problema, é que essa redução não é infinita, mesmo que consideremos infinitos postos de coleta, precisaremos de no mínimo “e” toneladas jujubas para entregar 1 toneladas, onde “e” é o número de Euler (algo próximo de 2,71).

Esse problema podem ser aplicado em cenários menos divertidos, como por exemplo o cálculo de juros compostos, se for feito em parcelas temporais menores, mesmo que proporcionalmente equivalentes a parcelas temporais maiores, chegaremos que quanto mais dividirmos o tempo, maior serão juros aplicado. Porém esse aumento não é infinito, e segue novamente aparecendo o número de Euler como limitador desse aumento.

Em minhas aulas frequentemente utilizo o problema das capivaras para falar do número de Euler, ou quando o assunto é sequências e séries, ou limite. Pois a expressão 1/(1 – 1/n)^n quando n tende a infinito, tende ao número de Euler.

Contudo, no final do ano passado passei para uma turma do Ensino Médio técnico uma tarefa que poderia acrescentar um bônus na nota. Desenvolver uma HQ simples, que abordasse em sua narrativa algum conceito relacionado à disciplina. E segue o material produzido por um aluno muito querido :3

(créditos à Fernando – https://instagram.com/11feef)

Como podem notar, no final da HQ ele coloca que as capivaras estão estressadas, e por isso, estão consumindo mais jujuba do que o esperado. Isso nos leva a um novo problema, até mais interessante que o primeiro. Existe solução caso o consumo seja superior ao necessário pra concluir o trajeto?

Vamos começar com um total um pouco maior, digamos que 11 kg de jujuba sejam necessários pra percorrer 10 kg.

Então, colocando um posto no meio do trajeto, como uma capivara segue levar apenas 10 kg, quando ela chegar lá, vai ter consumido 5,5 kg e descarregar 4,5 kg. Assim, se a abastecermos de novo no meio do trajeto com 10 kg, ela conseguirá levar ao destino, 4,5 kg. Ou seja, com 1 posto de coleta, pra cada 20 kg produzidos, conseguimos entregar 4,5 kg. Assim, pra levarmos 1.000 kg, precisamos de (1000kg/4,5kg)*20kg = 4.445 kg de jujuba (arredondei pra cima).

O que mudou em nosso problema foi a quantidade total a ser dividida pelos postos de coleta. Em outras palavras, a expressão 1/(1 – 1/n)^n, precisaria ser substituída por (n* (1 – 1,1/n)) / (1 – 1,1/n)^n. Para o caso anterior, o numerador resultaria em 1, pois a soma de todas as partes seria equivalente ao total. Se trocarmos os dados dessa expressão, para a situação com 1 posto de coleta, temos:

(2* (1 – 1,1/2)) / (1 – 1,1/2)^2 = 0,9/0,45^2 = 4,444…

Agora se aumentarmos os postos de coleta, teremos:

(3* (1 – 1,1/3)) / (1 – 1,1/3)^3 = 7,47

(4* (1 – 1,1/4)) / (1 – 1,1/4)^4 = 10,49

(5* (1 – 1,1/5)) / (1 – 1,1/5)^5 = 13,50

…

(10* (1 – 1,1/10)) / (1 – 1,1/10)^10 = 28,54

…

(100* (1 – 1,1/100)) / (1 – 1,1/100)^100 = 298,92

…

(1000* (1 – 1,1/1000)) / (1 – 1,1/1000)^1000 = 3.002,67

Acho que já deu pra entender, que essa sequência está crescendo sem sinal de parar. Mas porque isso ocorre? Veja que o papel dos postos de coleta é permitir o acúmulo das jujubas, mas no caso atual, esse transporte tem um custo superior ao trajeto a ser percorrido. O aumento dos postos de coleta, aumenta também esses prejuízos, tornando o total a ser gasto ainda mais caro a medida que fazemos mais paradas.

Podemos generalizar a expressão para:

(n* (1 – c/n)) / (1 – c/n)^n, onde c representa a razão do consumo necessário pro trajeto.

Assim, concluindo esse texto, qualquer c superior a 1, deve tender a infinito a medida que o número de postos aumenta, e qualquer c inferior a 1, deve tender a 0 a medida que a quantidade de postos aumenta :3