Não morde, mas machuca
Eu adoro os memes do cachorro que não morde mas machuca. A lógica desse humor é que alguém vê um cachorro e pergunta se ele morde, mas o tutor responde que não, mas mesmo assim ele machuca. Então o cachorro diz algo que dói pra quem ouve, como por exemplo:
No caso, dizer que para somar frações devemos somar o numerador e somar o denominador é um equívoco para a maioria das situações com números Reais. Por isso afirmar com valores genéricos essa igualdade, dói a quem ouve.
Mas após rir, me dei conta de que essa regra de soma nem sempre é falsa. Ou seja, que para algumas condições ela se aplica sim (na real, eu ainda nem fiz as contas que estou pra fazer, então esse está sendo um (dos muitos que faço) post escrito ao vivo). Assim, queremos determinar na verdade, para quais subconjuntos numéricos dos Reais, essa igualdade é valida.
m/n + p/q = (m + p)/(n + q)
Pra começar, n, p e (n + q) devem ser diferentes de 0. Ou seja, n tem que ser diferente de -q.
Uma vez definidos os denominadores diferentes de 0, posso reescrever a expressão como.
m + p*n/q = (m + p)*n/(n + q)
m*q + p*n = (m + p)*n*q/(n + q)
m*q*(n + q) + p*n*(n + q) = (m + p)*n*q
m*q*n + m*q*q + p*n*n + p*n*q = m*n*q + p*n*q
Agora tenho dos dois lados m*n*q e p*n*q, posso cancelar ambos, ficando:
m*q*q + p*n*n = 0
m*q^2 + p*n^2 = 0
m*q^2 = -p*n^2
q^2 = -p*n^2/m
q = +- sqrt(-p*n^2/m)
q = +- n*sqrt(-p/m)
Agora temos uma condição a mais a nossa igualdade, de que p e n devem ter sinais diferentes, senão teríamos uma raiz quadrada negativa, e consequentemente sairíamos do conjunto dos Reais. Essa condição pode ser descrita como p*q < 0.
Interessante que com uma soma frações chegamos em raízes quadradas e já esbarramos na fronteira dos números Reais… Mas vamos lá, quero terminar esse post achando pelo menos uma situação em que essa igualdade seja válida.
Se q = 1, n = 1, p = -1 e m = 1, nem n e nem q são iguais a 0, nem n + q é igual a 0, então acho que isso resolve. Vamos testar.
-1/1 + 1/1 = (-1 + 1)/(1 + 1)
0 = 0
Deu certo… Mas não teve nenhuma graça, pera, vou procurar outro valor…vou escolher candidatos que possam sair da raiz quadrada (-p/m) como números Inteiros.
Se q = 2, n = 1, p = – 4, m = 1, temos.
1/1 – 4/2 = (1 – 4)/(1 + 2)
1 – 2 = -3/3
-1 = -1
Legal, um exemplo não trivial :3