Hipótese da Terra-Prezel

A situação que apresentaremos a seguir serve de exemplo para a ideia da manipulação de hipóteses e seu papel na matemática. Pois apesar de algumas coisas nos parecerem “triviais” ou “óbvias” e sua negação ser “absurda” ou “ridícula”, ao supormos estas esquisitices, podemos chegar a modos distintos de enxergar o mundo.

Suponha que esteja num avião quando o piloto informa que não tem combustível o bastante para pousar pela trajetória prevista para o voo. Ambos “sabem” que a Terra é um globo, mas dadas as circunstâncias o piloto pediu para o computador analisar uma trajetória de voo supondo que a Terra fosse um pretzel e viu que assim seria possível pousar o avião.

Ambos tem a plena convicção de que a Terra é um globo, mas também sabem que isto significa a queda do avião… porém e se estivessem errados nesse aspecto? Poderiam sobreviver à esta situação, ainda que a hipótese da Terra ser um pretzel lhes pareça absurda.

A título de esclarecimentos, pretzel é um tipo de pão de origem alemã, podendo ser doce ou salgado. Ele tem a forma de um nó estranho, e o planeta no formato de um pretzel seria algo parecido com a figura abaixo.

Euclides de Alexandria foi um grande matemático grego tido como o pai da geometria, ele viveu a cerca de 300 anos antes de Cristo e descreveu a geometria a partir de 5 postulados (proposições tidas como triviais e que precisamos assumir como verdadeiras sem provar). Sua forma “óbvia” de descrever a geometria no plano levou ao desenvolvimento da geometria euclidiana, que propõe por exemplo “a menor distância entre dois pontos é uma linha reta”.

Contudo ao longo dos séculos foram destinados esforços contra um destes postulados, conhecido como o Postulado das Paralelas e que pode ser enunciado da seguinte forma:

É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.

De forma menos complicada para nós que já nascemos respirando geometria, o postulado diz que qualquer duas retas não-paralelas se cruzarão.

Vários matemáticos buscavam deduzir este postulado a partir dos 4 outros postulados e assim “provar” que a geometria como proposta por Euclides, poderia ser descrita apenas com 4 e não com 5 verdades absolutas. Entretanto, sempre que tentavam “supor” que se este postulado fosse falso acarretaria em uma afirmação absurda, chegavam a algo diferente, mas não absurdo, algo que veio a ser estudado como as geometrias não-euclidianas. Assim, apesar de parecerem “óbvios”, a negação de um postulado nos levou para formas diferentes de geometria que não é a euclidiana (ou seja, aquela que se baseia nos 5 postulados serem verdadeiros).

Uma forma simples de exemplificar uma geometria não-euclidiana é imaginar uma formiga em cima de uma bola de plástico. A menor distância entre dois pontos da bola certamente não é uma linha reta (pois a formiga não atravessará pelo interior do objeto) e sim um arco de circunferência com amplitude AB, que representa a trajetória entre dois pontos desta bola. Neste mesmo universo da bola de plástico, qualquer posição que a formiga queira chegar, estará a no máximo um arco de circunferência com 180 graus e raio igual ao da bola. No caso, para a formiga chegar ao ponto mais distante possível dela na bola, existem infinitos caminhos igualmente curtos.

De forma análoga, duas retas nesta bola seriam representadas por circunferências inscritas em sua superfície e que podem nunca se tocar mesmo não sendo paralelas. Assim, com uma situação simplória de uma formiga em uma bola de plástico, podemos observar contradições que a geometria euclidiana teria ao se estender neste universo de propriedades não-euclidianas.


Com isso ressaltamos o convite ao leitor para conhecer mais a matemática, mas não através de cálculos e fórmulas (que são necessários para averiguar as hipóteses, mas não suficientes para criá-las), e sim neste “jogo” de brincar com as hipóteses. Pois mesmo quando tudo parece “óbvio”, os matemáticos se colocam no dever de supor que algumas coisas possam ser diferentes e ver as consequências que estas ideias proporcionam para a análise da situação como um todo.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, M. H. de P. D. da. Hipótese da Terra-Prezel. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 2. Ed. 1. 2º semestre de 2019. Campinas, 20 nov. 2019. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/907/. Acesso em: <data-de-hoje>.

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