Uma lasca de pesquisa
Samantha vem de uma família humilde e precisou mudar-se de cidade para ter acesso à universidade pública, local onde graças a programas de permanência estudantil atrelados a alimentação, moradia e bolsas em projetos de pesquisa/extensão/inovação/docência, conseguiu concluir seu curso de História. Optou seguir nos estudos, fazendo um mestrado a duras penas, pois não foi contemplada com uma bolsa e a universidade não contemplava na sua política de permanência os alunos da pós-graduação, tendo que trabalhar informalmente para se sustentar em paralelo às pesadas demandas de pesquisa que essa formação requer, além de conviver diariamente com a crítica de uma sociedade com ideais conservadores sobre sua pesquisa envolver religiões antigas. Após terminar o mestrado, ela ingressou no doutorado, ainda descoberta das políticas de permanência, mas dessa vez conseguiu uma bolsa de tutoria para trabalhar na UAB, no mesmo valor da bolsa de doutorado (cujo poder aquisitivo ia caindo ano a ano devido a falta de reajustes desde 2013, marcando em seu ingresso em 2020 o equivalente a 2,2 do salário mínimo até a data quando ela qualificou sua tese em novembro de 2022, para 1,8 do salário mínimo).
Sua pesquisa envolveu um antigo culto cujos registros são escassos, já que data mais de 4000 anos. Dentre os documentos que ela conseguiu levantar nos acervos de museus de história natural e cruzando muitas referências com possíveis ramificações que esse culto teve, ela inferiu que havia uma espécie de reverência inusitada a uma enorme esfera homogêna feita inteiramente de vidro, cujo nome dado poderia ser traduzido na lingua de hoje, a algo próximo de, A Grande Inteligência. Nas suas análises de contexto dos materiais catalogados, ela supõe o tamanho e o peso da esfera, e na sua tese, identifica um pedaço de vidro em um dos museus, que pela localidade e época de registro, supostamente seria um fragmento da superfície do que sobrou dessa esfera. Como esta era uma afirmação bastante forte em sua tese, a banca recomendou que fosse feita uma investigação mais aprofundada sobre aquele fragmento afim de validar aquela conclusão.
Perdida sobre como fazer isso, por sua sorte, na universidade os departamentos tinham boas conexões, e ela tinha feito contato com muitos pesquisadores de várias áreas, dentre elas, Emanuelly, que veio a se tornar sua amiga. Samantha contou a ela enquanto aguardavam na fila do restaurante universitário, sobre as críticas da banca, e Emanuelly disse que se aquele pedaço fosse de fato da superfície de uma esfera, conhecendo suas dimensões dava para determinar a medida da esfera original e inclusive seu peso, uma vez que seria homogêneo.
Enquanto comiam, Emanuelly pegou a laranja que recebeu do restaurante como sobremesa, para explicar seu raciocínio.
Se você assumir que essa laranja é esférica, podemos cortar seu tampo, que terá uma medida de altura h, e raio r.
Queremos determinar o raio da laranja inteira, que chamaremos de R. Para isso, podemos dizer que a distância do centro da laranja até a altura que ela foi cortada, será de (R – h), enquanto que a distância do centro até a borda de onde ela foi cortada, é de R (pois é o raio da laranja).
Com isso, temos um triângulo retângulo, então podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar R em função de r e h.
r² + (R – h)² = R²
Após expandir essa expressão, e isolar R, chegamos em:
R = (h² + r²)/2h
Como h e r são conhecidos (pois temos o tampo da laranja para medir), podemos determinar R.
Pronto, assim Emanuelly terminou a explicação de como mostrar pra banca se aquela lasca de vidro veio de uma esfera do tamanho que a Samantha acredita ser a esfera. Samantha animada, pergunta como faria para mostrar se o peso é correspondente? Emanuelly suspira, olha pra cima, abre a mochila, pega um caderno, e mordendo os lábios diz que vamos lá… Samantha vendo a expressão da amiga se assusta perante o que vai seguir daquilo.
Emanuelly diz que para “simplificar um pouco”, vai utilizar coordenadas esféricas, ou seja, chamará as posições cartesianas como se fossem posições de uma esfera: x² + y² + z² = R².
x = p.sen(φ).cos(θ)
y = p.sen(φ).sen(θ)
z = p.cos(φ)
Nessas coordenadas, a unidade de volume seria: p².sen(φ).dp.dφ.dθ.
Como o plano de corte está a uma distância (R – h) do centro, temos que z = R – h.
Assim, podemos deduzir o ângulo α da abertura do corte dessa laranja:
Como cos(α) = (R – h)/R
Logo, α = arco-cos((R – h)/R).
Com isso, temos as medidas da região de integração do tampo:
0 ≤ θ ≤ 2π (pois é um movimento de 360 graus)
0 ≤ φ ≤ α (pois é a abertura do centro até o tampo)
(R – h)/cos(φ) ≤ p ≤ R (pois está entre a altura do corte e o limite exterior da laranja)
Definidas essas regiões, podemos montar nossa integral:
∫(0, 2π) ∫(0, α) ∫((R – h)/cos(φ), R) p².sen(φ).dp.dφ.dθ (pois assumimos que o volume seja homogêneo)
Resolvendo essa integral tripla, chegamos em que seu volume será:
π.h².(3R – h)/3
Se usamos uma balança encontrar o peso M do tampo, podemos reescrever seu volume como:
M = densidade*volume
M = d*π.h².(3R – h)/3
3M/(π.h².(3R – h)) = d
Agora, sabendo a densidade d, podemos substituir na fórmula do volume da esfera (é mais fácil lembrar que é 4.π.R³/3, do que querer deduzir isso).
Substituindo a densidade :
d.4.π.R³/3
4.π.R³.3M/(π.h².(3R – h)).3
Logo, a massa da laranja inteira será:
4.M.R³/(h².(3R – h))
Preocupada que Samantha a olhava com uma expressão de horror frente a um terror cósmico indescritível, Emanuelly disse que dava para melhorar um pouquinho aquele resultado, reescrevendo-o em função apenas de M, h e r, isto é, as medidas obtidas diretamente do tampo, ficando:
M.(r² + h²)³/(h⁴(3r² + h²))
A versão final não diminuiu a expressão de medo da Samantha, frente a forma como ela chegou neste resultado, embora estivesse feliz, que poderia usá-lo para determinar se sua hipótese estava certa ou errada (o que não é um problema, já que pesquisar é inclusive chegar em resultados negativos pra nossa hipótese). Samantha então pegou aquelas folhas do caderno da Emanuelly e disse que tentaria entender o que estava escrito ali e entraria em contato nas próximas semanas!
Mas as duas não voltaram a conversar sobre esse tema tão cedo, já que precisaram protestar contra o Decreto n° 11.269, de 30 de novembro de 2022 do então presidente, que impedia o MEC de pagar as bolsas de pesquisa em todo o Brasil… com pressão popular, a medida foi revertida, e as bolsas foram pagas com pouco mais de uma semana de atraso, garantindo que Emanuelly e Samantha pudessem se manter, e seguir com suas pesquisas acadêmicas.
A história de Samantha é ficcção, porém o corte que o MEC sofreu, não.