As desventuras do Teorema de Pick

Em 1900, o matemático austríaco Georg Alexander Pick publicou um artigo de oito páginas intitulado “Geometrisches zur Zahlenlehre” [“Resultados Geométricos sobre a Teoria dos Números”]. O artigo apresentava um teorema interessante e simples, ou como dizem os matemáticos, elegante.

Pick havia encontrado uma maneira de determinar facilmente a área de um polígono simples com a ajuda de coordenadas inteiras. Esteja o polígono P em um plano reticulado — como o de um caderno quadriculado. Se i é o número de pontos reticulares (i.e., determinados pela retícula) no interior do polígono e b o número de pontos reticulares na borda do polígono, então a área, A, é dada pela seguinte fórmula:

pick's theorem

Vamos considerar o exemplo da figura a seguir.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gitterpolygon.svg

Nesta figura, temos um polígono sobre uma reticula. O polígono de bordas pretas tem seu interior preenchido com a cor amarela. Os pontos reticulares do interior do polígono (i) estão destacados em vermelho e os da borda (b) são os pontos pretos. Para encontrar a área desse polígono, basta contar os pontos e aplicar a Fórmula de Pick: A = 40 + 12/2 – 1 = 45. A unidade de área pode ficar a gosto.

No entanto, apesar de ser extremamente elegante e útil, a fórmula de Pick passou quase setenta anos esquecida. O motivo? (mais…)